1. Vetenskap & humaniora
  2. Fysik, matematik och teknologi
  3. Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter

Sannolikhetsfråga om bilreg-skyltar

Svara
2020-08-20, 23:24
  #13
Querl
Medlem
Querls avatar
Citat:
Ursprungligen postat av mulpac
Tror att frågeställningen gäller sannolikheten att samma tresiffriga tal förekommer minst två gånger i en mängd registreringsnummer, alltså att minst två bilar, vilka som helst i mängden, har samma sifferföljd.

Precis, hur många bilar måste man se innan man får sin första dubblett. Verkar som några av er vet hur man räknar, men vad är det exakta svaret?
Citera
2020-08-20, 23:41
  #14
Igni-ferroque
Medlem
Igni-ferroques avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Querl
Precis, hur många bilar måste man se innan man får sin första dubblett. Verkar som några av er vet hur man räknar, men vad är det exakta svaret?

Jag petade ihop litet kod(se tidigare i tråden). 38,68,95 fick jag. Om det är et skolproblem(?) så kolla facit. Man måste vara observant på hur frågan är formulerad, om det är bilar förutom den första eller med den första, kan ju variera med en etta där då,
Citera
2020-08-21, 00:14
  #15
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Querl
Precis, hur många bilar måste man se innan man får sin första dubblett. Verkar som några av er vet hur man räknar, men vad är det exakta svaret?

Citat:
Ursprungligen postat av Igni-ferroque
Jag petade ihop litet kod(se tidigare i tråden). 38,68,95 fick jag. Om det är et skolproblem(?) så kolla facit. Man måste vara observant på hur frågan är formulerad, om det är bilar förutom den första eller med den första, kan ju variera med en etta där då,
Detta är en variant på födelsedagsproblemet där man har 10 månader och 100 dagar i varje månad. Enligt ett Elementa-dokument som jag länkade till tidigare så visar Gunnar Blom att det förväntade antalet (i födelsedagsproblemet) är ≈ sqrt(365π/2) varför det i bilproblemet bör bli ≈ sqrt(1000π/2)*≈*39.6333, d.v.s. 40 bilar.
Citera
2020-08-21, 12:57
  #16
lutris
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Querl
Precis, hur många bilar måste man se innan man får sin första dubblett. Verkar som några av er vet hur man räknar, men vad är det exakta svaret?

Det finns N=999 olika nummer. Sannolikheten att du vid den Q:te bilen noterar den första dubbletten ges av

P( Q ) = (N-1)/N * (N-2)/N * ... * (N-Q+2)/N * (Q-1) / N

Väntevärdet ges därmed av 2*P(2) + 3*P(3) + ... + N*P(N) ~= 40 bilar, dvs det förväntade antalet till första dubbletten.

Sannolikheten att ha sett en dubblett efter Q bilar fås lättast genom att betrakta komplementhändelsen, att alla nummer är olika, vars sannolikhet är (N-1)/N * ... (N-Q+1)/N. Subtrahera därefter den från 1. Några axplock:

Antal bilar______________Sannolikhet för minst 2 med samma nummer
10........................................0.04418
38........................................0.50967
68........................................0.90304
95........................................0.99012
__________________
Senast redigerad av lutris 2020-08-21 kl. 13:00.
Citera
2020-08-21, 14:05
  #17
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av lutris
Det finns N=999 olika nummer. Sannolikheten att du vid den Q:te bilen noterar den första dubbletten ges av

P( Q ) = (N-1)/N * (N-2)/N * ... * (N-Q+2)/N * (Q-1) / N

Väntevärdet ges därmed av 2*P(2) + 3*P(3) + ... + N*P(N) ~= 40 bilar, dvs det förväntade antalet till första dubbletten.

Sannolikheten att ha sett en dubblett efter Q bilar fås lättast genom att betrakta komplementhändelsen, att alla nummer är olika, vars sannolikhet är (N-1)/N * ... (N-Q+1)/N. Subtrahera därefter den från 1. Några axplock:

Antal bilar______________Sannolikhet för minst 2 med samma nummer
10........................................0.04418
38........................................0.50967
68........................................0.90304
95........................................0.99012
Jag tror ej det finns restriktion på 000 varför den finns 1000 nummer, men det gör ingen större inverkan på resultatet.
Citera
2020-08-21, 14:24
  #18
morozz
Medlem
morozzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av lutris
Det kan underlätta att först betrakta ett enklare problem av samma form: tänk dig att du istället singlar mynt, och vill veta vad sannolikheten är att ha sett samma sida två gånger efter ett visst antal kast. För att göra det enkelt att följa resonemanget föreslår jag att du ritar ett träddiagram.

Det finns två möjliga utfall, krona och klave. Efter 1 kast är sannolikheten att du ser en sida du redan sett 0/2=0, medan sannolikheten att du ser en ny sida är 2/2=1 (naturligtvis). Efter kast 2 är sannolikheten 1/2 att du ser samma sida som vid första kastet, och 1/2 att du ser den andra. Om du ser den andra sidan så har du därmed sett bägge sidorna en gång var, och efter kast 3 är då sannolikheten 2/2=1 att du ser en sida du redan sett, och 0/2=0 att du inte gör det.

Sannolikheten att det kommer att ta ett visst antal kast för att att ha sett en sida två gånger är

P( 1 kast ) = 0
P( 2 kast ) = 2/2 * 1/2 = 1/2
P( 3 kast ) = 2/2 * 1/2 * 2/2 = 1/2

Sannolikheten att det kommer ta högst 2 kast är

P( högst 2 kast ) = P( 1 kast ) + P( 2 kast ) = 0 + 1/2 = 1/2

Och högst 3 kast

P( högst 3 kast ) = P( 1 kast ) + P( 2 kast ) + P( 3 kast ) = 0 + 1/2 + 1/2 = 1

Exakt samma logik gäller i ditt exempel, med skillnaden att "myntet" i det fallet har 999 sidor isället för 2.
Om du har ett vanligt mynt och singlar med huvud och krona och singlar det 99 gånger
och huvud kommer upp 99 gånger.

Hur stor är chansen då, att det blir huvud den 100 gången du singlar myntet?
__________________
Senast redigerad av morozz 2020-08-21 kl. 14:27.
Citera
2020-08-21, 14:55
  #19
Igni-ferroque
Medlem
Igni-ferroques avatar
Citat:
Ursprungligen postat av morozz
Om du har ett vanligt mynt och singlar med huvud och krona och singlar det 99 gånger
och huvud kommer upp 99 gånger.

Hur stor är chansen då, att det blir huvud den 100 gången du singlar myntet?

Jag skulle misstänka att det vanliga myntet i själva verket inte alls är vanligt utan att det är någon form av fel på myntet. Så jag skulle tro att det är betydligt mer än 50% chans att få huvud igen, snarare närmare 100%

Det är i praktiken inte helt lätt att bevisa att ett mynt är "rättvist", ibland är experimentella resultat sanningen och inte bara en slump.
Citera
2020-08-21, 15:30
  #20
morozz
Medlem
morozzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Igni-ferroque
Jag skulle misstänka att det vanliga myntet i själva verket inte alls är vanligt utan att det är någon form av fel på myntet. Så jag skulle tro att det är betydligt mer än 50% chans att få huvud igen, snarare närmare 100% ?

Det är i praktiken inte helt lätt att bevisa att ett mynt är "rättvist", ibland är experimentella resultat sanningen och inte bara en slump.
1. Varje kast har har 50% att bli krona eller klave och det spelar ingen roll vad man fått tidigare.
Så det är 50% chans.

Men
2. Har man kastat samma mynt 100 gånger och får samma sak 100 gånger
så har man gjort något som bara händer ungefär 1 gång på 30 mijoner försök.

Så,
Ja, det stod så i någon bok, myntet eller kastet är troligtvis fejk och chansen borde ju vara betydligt mer än 50% att det blir ett huvud igen. Kanske så gott som 100%

Samtidigt så måste man ju i 2. gå tillbaka till 1. att något som hänt 99 gånger tidigare (eller "alltid" hänt tidigare,) är ingen garanti för att det ska hända igen.

Dessutom
Att något aldrig (inte) hänt tidigare, är ingen garanti att det aldrig (inte) kommer hända.

Kanske bäst att sluta?
__________________
Senast redigerad av morozz 2020-08-21 kl. 15:35.
Citera
2020-08-21, 18:03
  #21
Igni-ferroque
Medlem
Igni-ferroques avatar
Citat:
Ursprungligen postat av morozz
1. Varje kast har har 50% att bli krona eller klave och det spelar ingen roll vad man fått tidigare.
Så det är 50% chans.

Men
2. Har man kastat samma mynt 100 gånger och får samma sak 100 gånger
så har man gjort något som bara händer ungefär 1 gång på 30 mijoner försök.

Så,
Ja, det stod så i någon bok, myntet eller kastet är troligtvis fejk och chansen borde ju vara betydligt mer än 50% att det blir ett huvud igen. Kanske så gott som 100%

Samtidigt så måste man ju i 2. gå tillbaka till 1. att något som hänt 99 gånger tidigare (eller "alltid" hänt tidigare,) är ingen garanti för att det ska hända igen.

Dessutom
Att något aldrig (inte) hänt tidigare, är ingen garanti att det aldrig (inte) kommer hända.

Kanske bäst att sluta?

Man skulle kanske kunna göra någon sorts försök med bayesisk interferens eller så. Dock är jag inte så vass på det och sedan så är 99 heads i rad så extremt. Efter att ha kollat runt litet så verkar likelihoodfunktionen bli typ p^99 på [0 1] och vad skall man säga om det egentligen?

Man skulle kanske kunna slänga upp en förmodad så kallad prior distribution, dvs en fördelning som man antar att sannolikheten för heads kan ha utan att veta resultatet av experimentet.

Men jag vet egentligen inte vad som är vettigt att anta, någon form av symmetrisk grej runt p = 0,5.

I efterhand så verkar ju uniform distr. kanske bra, men inte hade man valt det utan att veta vad experimentet visar...
Citera
2020-08-21, 19:04
  #22
morozz
Medlem
morozzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Querl
Fick en fråga av min dotter och har ingen aning om hur man räknar ut det, så hoppas på hjälp här. Frågan lyder i korthet hur många bilar man måste titta på innan man kommer att ha sett se två stycken med samma nummerserie? Grundantagandet här är att alla bilar har en regskylt med klassisk tre-siffrig serie, dvs från 001 till 999, och att alla serier är lika frekventa i den svenska bilparken. Sannolikhetsmässigt tänker jag mig att det vore kul att veta hur många bilar man måste se innan man når över 50% chans att ha sett två med samma, och sedan för 90% och 99% chans.

Om du inte räknar med ditt egna reg nr (kan ju vara svårt att se det om ni sitter i bilen)
Chans för att se två bilar med samma siffror:

37 bilar ≈ 50,97%
67 bilar ≈ 90.30%
94 bilar ≈ 99,01%


__________________
Senast redigerad av morozz 2020-08-21 kl. 19:09.
Citera
2020-08-21, 19:29
  #23
morozz
Medlem
morozzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av VonFanderblad
Det där påminner om the birthday paradox, dvs "paradoxen" att sannolikheten att två personer i en relativt liten grupp (20-30) delar födelsedag är betydligt större än vad många förväntar sig, typ 50%.
Verkar ju vara födelsedags grejjset och Wiki har en bra sida om födelsedagen och duvhålen, men den har fruktansvärda formlar.

Så här är det 1 bil = (999/999)= 0% 2 bil = (999/999)*(998/999) o.s.v
^^ Nu är det enkelt med excel, behövs bara fyra kolumner.
Citera
2020-08-21, 20:10
  #24
morozz
Medlem
morozzs avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Igni-ferroque
Man skulle kanske kunna göra någon sorts försök med bayesisk interferens eller så. Dock är jag inte så vass på det och sedan så är 99 heads i rad så extremt. Efter att ha kollat runt litet så verkar likelihoodfunktionen bli typ p^99 på [0 1] och vad skall man säga om det egentligen?

Man skulle kanske kunna slänga upp en förmodad så kallad prior distribution, dvs en fördelning som man antar att sannolikheten för heads kan ha utan att veta resultatet av experimentet.

Men jag vet egentligen inte vad som är vettigt att anta, någon form av symmetrisk grej runt p = 0,5.

I efterhand så verkar ju uniform distr. kanske bra, men inte hade man valt det utan att veta vad experimentet visar...
Ja, själva vitsen med "100" heads" och att det troligen är en fejk krona är att "verkligheten" är svår att räkna ut teoretiskt vad som kommer att hända. Skillnaden mellan vad man vet och inte vet o.s.v

Att något aldrig (inte) hänt tidigare, är ingen garanti att det aldrig (inte) kommer hända.

Tänk om du var en gris?
Du bor i ett litet stall och allt är frid och fröjd. Men det börjar bli kallare och mörkare ute för var dag, men var gör de? Bonden blir ju snällare och snällare för var dag som går ger hon(?) dig mer och mer mat så du blir fetare och fetare.
En dag springer det till och med runt folk med ljus i håret som sjunger och stojjar, du har aldrig haft det bättre... Du tänker tillbaka på alla dina bra dagar och vill aldrig lämna denna bondgård,
för här kommer du fortsatt att ha det bra...
Citera
Svara

Skapa ett konto eller logga in för att kommentera

Du måste vara medlem för att kunna kommentera

Skapa ett konto

Det är enkelt att registrera ett nytt konto

Bli medlem

Logga in

Har du redan ett konto? Logga in här

Logga in