Sannolikhetsfråga om bilreg-skyltar

Fick en fråga av min dotter och har ingen aning om hur man räknar ut det, så hoppas på hjälp här. Frågan lyder i korthet hur många bilar man måste titta på innan man kommer att ha sett se två stycken med samma nummerserie? Grundantagandet här är att alla bilar har en regskylt med klassisk tre-siffrig serie, dvs från 001 till 999, och att alla serier är lika frekventa i den svenska bilparken. Sannolikhetsmässigt tänker jag mig att det vore kul att veta hur många bilar man måste se innan man når över 50% chans att ha sett två med samma, och sedan för 90% och 99% chans.

Inte helt säker men 23^3 x 10^3 = ca 12 000 000 möjliga kombinationer med vanligt reg. nr

Edit: insåg att vissa bokstäver inte användes

Bokstavserien är inte med i det här, utan bara nummerserien från 001 till 999. Så bilen får ha vilken bokstavskombination som helst.

Det där påminner om the birthday paradox, dvs "paradoxen" att sannolikheten att två personer i en relativt liten grupp (20-30) delar födelsedag är betydligt större än vad många förväntar sig, typ 50%.

Ja precis! Och jag tänker mig att man inte ska behöva se så många bilar innan man får en dublett, kanske färre än 100 stycken, kanske ännu färre. Men hur man räknar, det har jag ingen aning om.

Tror man bör programmera detta, om du kan Python så kan du kanske dubbelkolla följande kod:

def main():
prob = 1
numbcars = 0
while prob > 0.5:
numbcars = numbcars+1
prob = prob*((1000-numbcars)/1000)
print(numbcars)
if __name__ == '__main__':
main()

Tänker så här om man har bil ett så är chansen att inte ha samma nummer på bil 2 : 999/1000
Går man ett steg till så är chansen för att nästa bil inte har samma nummer som de två tidigare: 998/1000. Följer man detta träd så multipliceras hela tiden sannolikheterna för att inte få träff. Det är alltså prob i min kod.

När prob sjunker under 0,5 så är ju chansen att det blivit två lika någonstans 0,5 eller mer. Jag fick det till 38 bilar (37 +1).

Det kan underlätta att först betrakta ett enklare problem av samma form: tänk dig att du istället singlar mynt, och vill veta vad sannolikheten är att ha sett samma sida två gånger efter ett visst antal kast. För att göra det enkelt att följa resonemanget föreslår jag att du ritar ett träddiagram.

Det finns två möjliga utfall, krona och klave. Efter 1 kast är sannolikheten att du ser en sida du redan sett 0/2=0, medan sannolikheten att du ser en ny sida är 2/2=1 (naturligtvis). Efter kast 2 är sannolikheten 1/2 att du ser samma sida som vid första kastet, och 1/2 att du ser den andra. Om du ser den andra sidan så har du därmed sett bägge sidorna en gång var, och efter kast 3 är då sannolikheten 2/2=1 att du ser en sida du redan sett, och 0/2=0 att du inte gör det.

Sannolikheten att det kommer att ta ett visst antal kast för att att ha sett en sida två gånger är

P( 1 kast ) = 0
P( 2 kast ) = 2/2 * 1/2 = 1/2
P( 3 kast ) = 2/2 * 1/2 * 2/2 = 1/2

Sannolikheten att det kommer ta högst 2 kast är

P( högst 2 kast ) = P( 1 kast ) + P( 2 kast ) = 0 + 1/2 = 1/2

Och högst 3 kast

P( högst 3 kast ) = P( 1 kast ) + P( 2 kast ) + P( 3 kast ) = 0 + 1/2 + 1/2 = 1

Exakt samma logik gäller i ditt exempel, med skillnaden att "myntet" i det fallet har 999 sidor isället för 2.

Ser att mitt svar var rätt otydligt. Det jag tänkte var titta på komplementhändelsen. Dvs att om du startar på bil ett och skriver ner reg numret. Sedan går du till bil 2. Vad är chansen att inte få samma nummer?

Jo det finns 999 lediga nummer av 1000 så 999/1000. Skriv ned detta reg nummer. Om du fortfarande inte fått träff gå vidare. Vad är chasne att inte få träff på nästa bil? Det finns 998 lediga nummer av 1000. så chansen är 998/1000.

Chansen att ha hamnat i detta läge får man av multiplikationsprincipen, dvs 999/1000*998/1000.

Man fortsätter att räkna på chansen att inte få två lika nummer ända tills man når värdet 1- den sannolikhet man vill ha för att ha två lika.

Om man tex vill att chansen för att två lika skall vara 20% så måste chansen får att så inte är fallet vara 80%. I det här fallet så ville man ha 50% chans så då blir det 50% chans att inte ha fått två lika.

Rätt enkel fråga.
Varje gång är sannolikheten 1/999.

Inte fullt så enkelt ... Har du hittills sett Q bilar med olika nummer är ju sannolikheten att nästa bil har ett av dessa nummer Q/999.

Observera att frågan inte gäller ett specifikt nummer.

Jag läste trådstarten flera gången, för att inte ta fel.
Säger inte TS att man ser ett nummer, vilket som helst, och hur stor är sannolikheten att nästa bil man ser har samma nummer?

Tror att frågeställningen gäller sannolikheten att samma tresiffriga tal förekommer minst två gånger i en mängd registreringsnummer, alltså att minst två bilar, vilka som helst i mängden, har samma sifferföljd.