Svår Ma/3c uppgift. Hitta värde på x så omkretsen blir så liten som möjligt.

En person ska bygga ett staket runt sin trädgård. Staketet är väldigt dyrt och personen vill alltså använda så lite staket som möjligt. Arean på trädgårdsytan är 240 m^2. Hitta ett värde på x så att personen använder så lite staket som möjligt.

https://imgur.com/GsTQDip



Uppgiften är på C-nivå. Visa gärna hela uträkningen. Tack i förväg!

Hur långt har du själv kommit med uppgiften?

Fel

Trädgårdsytan är 240 m^2, ej husytan.

kul problem som påminner om vad vi gjorde på gymnasiematten på 80-talet. Jag minns ännu.

staketlängd kan vi kalla L(x), som är en funktion m.a.p. x.
Minsta åtgång för staketlängd kan beräknas genom derivering.
Längd på staketets kortsida kan vi kalla y.

L(x) = 8x + 6x + 2y
L(x) = 14x + 2y (Ekv 1)

Area = 8x * y - 2x * 2x = 240 m^2
Areaekvationen omskrivs så att y bryts ut vilket ger
y = (240 + 4x^2) / (8x)
y = 30/x + x/2 (Ekv 2)

(Ekv 2) insätts i (Ekv 1)
L(x) = 14x + 2 * (30/x + x/2)
L(x) = 14x + 60/x + x
L(x) = 15x + 60/x

Deriverar funktionen L m.a.p x och sätter derivatan lika med noll.
L’(x) = 15 - 60/(x^2) = 0
15x^2 = 60
x^2 = 4
Ena reella roten x = -2 kan ignoreras ty x (del av staketlängden) kan inte vara negativ.
Kvarstår roten x = 2
Svaret är x = 2m.

Redan besvarad ser jag nu.

Det var vädigt hus 4 m^2.

Glöm ej att visa att det är minimum.

Det är redan visat att det är ett minimum. Ett maximum hade varit andra roten x = -2 som jag motiverat att det kan ignoreras, ifall Problemställningens är sådan att ett maximum kan kan vara relevant: vilket det inte är i detta fallet.

Ej sant, och ger ofta poängavdrag om ej teckenstudium eller annan metod tillämpas.
L'(x)=0 garanterar inget minimum.

Nej, men du kan lätt derivera igen och se vilket tecken andraderivatan har.



Om f'(a)=0 och f''(a)>0 så är (a,f(a)) en minpunkt.
Om f'(a)=0 och f''(a)<0 så är det en minpunkt.

Om f'(a)=0 och f''(0) så gör teckentabell.

Men i alla fall, är det rimligt att anta husets bottenarea är endast 4*4 kvadratmeter?

Uppgiften som sådan är väl rel. ogenomtänkt.
240 kvm borde vara en kolonilott och då räcker huset knappt till gräsklipparen.
Om man efterlyser "rimlighetsanalys" av eleven (vilket man ofta gör) så har du en poäng då, även om räkningarna är korrekta, rimligheten blir absurd.

Byt värden så att
1x "=" 4x
huset är 6x resp. 4x
Tomtarean = 990 kvm
så blir det rimligare värden.