Vad händer med gravitationen?

Om man teoretiskt sätt skulle kunna borra sig ned till jordens exakta mittpunkt och skapa ett runt tomrum (tänk globen), vad skulle då hända med gravitationen om man stod i detta tomrum? Skulle man kunna sväva fritt om man befann sig i mitten av tomrummet?

Ja.

Om du bortser från andra illavarslande faktorer (tryck, värme etc).

Som extra kuriosa så finns det ett videoklipp av matematikern/komikern Matt Parker där han pratar om ungefär samma ämne:

https://www.youtube.com/watch?v=s94Gojs3Ags

Hans speciella sarkastiska humor är alltid lika underhållande.

Ett fel han gör är att anta att densiteten är konstant. Det är den inte, den ökar rätt ordentligt längre in. Därmed är det större massa innanför varje avstånd x från jordens centrum, och därmed större acceleration hela vägen in, därmed högre hastighet och därmed kortare falltid. Och det blir en signifikant skillnad.

En annan relaterad kuriosagrej är att man skulle bli tyngdlös i hela hålet även om hålet var skitstort, t ex halva jordens radie. Detta är en konsekvens av skalteoremet som används i videon (när han säger att att krafterna från alla yttre delarna av "löken" tar ut varandra). Så tyvärr är det omöjligt enl Newtonsk fysik att det skulle kunna finnas en värld på insidan av en ihålig jord, där tyngdkraften är riktad ut mot skalet. Gravitation funkar inte så.

Fast, vi får ju också mer och mer massa ovanför oss som bromsar, och eftersom vi står still i mitten så tar ju all massa runtomkring ut varandra, oaktat den större densiteten vi får kortare avstånd till.
Vi kan ju inte accelerera snabbare och snabbare som ett resultat av den högre densiteten i mitten och sen när vi når mitten så poff så tar alla krafter ut varandra. När vi är 1 meter från mitten så har vi ju mindre massa som verkar på oss, vilket ger att flykthastigheten därifrån är lägre, således svagare gravitation.
Så vi accelererar säkert fortare och fortare tills den punkten då vår hastighet är högre än flykthastigheten från massan under oss, vilket blir straxt innan mitten, men det kan ju inte bero på densitetsskillnaden, utan bara att en liten massa under oss ändå bidrar till accelerationen, men då, till en punkt ovanför mitten där massan under oss är så lite större än massan ovanför oss att flykthastigheten då är lägre än hastigheten vi hunnit komma upp i.

Eller?

Medeldensitet = massa delat med volym. Om densiteten är högre längre in så måste den vara lägre längre ut, om medlet är samma.

Nej, densiteten som funktion av det radiella avståndet är kontinuerlig upp iaf t o m den första derivatan. Nära centrum gör man inget fel om man approximerar den som en konstant, men mycket högre än jordens medeldensitet.

Här finns en massa info inkl grafer för de intresserade: https://en.wikipedia.org/wiki/Structure_of_the_Earth#Structure

Vill man räkna själv enl den princip som Parker visar i början på filmen, kan man hämta data på de faktiska densiteterna på olika djup, från PREM-modellen (se länk i artikeln). Glöm då bara inte att det är massan M(x) innanför en viss radie x som ger tyngdaccelerationen GM(x)/x² där. Dvs först måste man integrera fram M(x) från densiteten. Detta kan man som Parker göra i Python, men om man lika gärna måste ta in alla densitetsdata så skulle jag göra det i Excel.

Jag ifrågasätter inte att det är högre densitet närmare kärnan. Det är ju underförstått.

Jag har heller inte sagt emot att densiteten beror på avståndet från mitten. Det är ju också underförstått.

Jag har inte heller inte frågat om jordens interna struktur.

Jag har heller inte sagt att densitet inte har någonting med massa att göra.

Vad jag säger är att nära mitten på jorden så kommer hastigheten vi hunnit accelerera upp till att vara högre än tyngdaccelerationen från massan under oss. Alltså kommer vi bara att accelerera mot mitten fram till den punkten, som inte är exakt i mitten.

Flykthastigheten beror ju på avståndet från massan, så på månen där vi är kortare sträcka från centrum så är flykthastigheten lägre.

När vi närmar oss mitten på jorden så har vårat avstånd från mittpunkten gravitationen verkar på oss minskat eftersom vi har materia ovanför oss som motverkar gravitationskraften nedåt.

Kolla länken jag gav. Den andra grafen visar hur tyngdaccelerationen ser ut hela vägen in till centrum. I samma graf har de även lagt in den räta linjen man får enl Parkers överförenklade modell med konstant densitet. Den verkliga tyngdaccelerationen är högre hela vägen in. (Utom precis i centrum där båda ger noll, och precis vid ytan där båda ger ca 9.8 m/s².)

Och så dras man som sagt (även av Parker) inte uppåt alls av den massa som är över en. Enl skalteoremet tar ju alla bidrag från delarna utanför radien x ut varandra. Det är därför Parker får fram samma uttryck som för en harmonisk oscillator. Läs på om skalteoremet t ex här:

https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem

Och så jämför du äpplen och päron när du skriver att en hastighet är högre än en acceleration. Det är nonsens.

Grafen säger ju det jag säger.

Din länk om skalteoremet säger inte emot andemeningen i det jag säger utan kan ses som en detalj. Det ger inte det jag säger några konsekvenser.
Länken säger också: "A corollary is that inside a solid sphere of constant density, the gravitational force within the object varies linearly with distance from the centre, becoming zero by symmetry at the centre of mass.", vilket du vet.
Så även om det inte blir linjärt eftersom densiteten ökar, så minskar fortfarande gravitationskraften, men långsammare. Att den minskar långsammare spelar ingen roll så länge den minskar. Om den minskar så blir flykthastigheten lägre och lägre. Blir flykthastigheten lägre och lägre så kommer vi inte accelerera mer och mer fram till mitten, utan vi kommer att accelerera mer och mer fram till den punkten att våran hastighet och flykthastigheten från masscentrum under oss tar ut varandra.

Vi accelererar alltså mer och mer, nästan fram till mitten.

https://anonfiles.com/x3O30d41nd/1_jpg

Bild 1 visar hur det ser ut på jordens yta. Vi räknar ut flykthastigheten från den röda cirkeln till det gröna strecket i mitten.

Bild 2 visar hur det ser ut när vi fallit en bit.
Det gröna strecket markerar gravitationscentrum under oss som vi räknar ut r ifrån som närmar sig den röda cirkeln som faller.
Den blåa stapeln ovan visar då massan vi har ovanför oss, med det lila strecket vi räknar ut r från, som rör sig bort från oss.

Bild 3 visar samma sak som bild 2, men massan ovanför blir större, så avståndet från r från massan under oss blir mindre, och avståndet från r från massan över oss blir större.

Bild 4 visar hur det ser ut i mitten, där massan ovanför oss är lika stor som massan under oss, och avståndet från masscentrum, r, är lika stort, så krafterna tar ut varandra.

Bild 5 gör det tydligare att om vi kommer närmare massan under oss som då minskar(samtidigt som massan ovanför oss motverkar) så är det detsamma som att säga att vi accelererar mot en mindre massa, typ av månens storlek vid någon punkt.

Månen har lägre flykthastighet än jorden eftersom avståndet från centrum är kortare. Alltså blir flykthastigheten upp från mitten lägre och lägre, vilket är självklart eftersom vi är viktlösa i mitten där den blir 0.

Vid någon punkt nära mitten så har vi en hastighet som vi har accelererat upp till, samtidigt som vi kommer närmre och närmre masscentrum r under oss, och dras neråt av en mindre och mindre massa, som då har lägre och lägre flykthastighet, där vi då kommer nå en brytpunkt straxt innan vi når mitten, där våran hastighet är större än flykthastigheten från massan under oss, eftersom r närmar sig oss fram till 0.

Det är också detsamma som att säga att gravitationskraften neråt blir lägre och lägre ju närmare centrum vi kommer.
Det är detsamma som att säga att massan som drar oss ner blir mindre och mindre.
Det är detsamma som att säga att flykthastigheten blir lägre och lägre.
Det är detsamma som att säga att vi inte accelererar snabbare och snabbare som ett resultat av att densiteten är högre i mitten, utan det faktumet endast förskjuter masscentrum något.



Nästan hela vägen in. Eftersom gravitationspotentialen på en massa som rör sig mot en massa snabbare än dess flykthastighet inte ger något bidrag till accelerationen.

Eller kan man röra sig i 0,98 c mot en elektron och elektronen fortfarande bidrar till accelerationen? Går gränsen precis innan c, där vilken liten massa som helst fortfarande bidrar till en acceleration?

För om jag kan ha en hastighet som i teorin kan ta mig oändligt långt bort från en massa så bör rimligtvis inte denna massan kunna accelerera mig tillbaka från oändligt långt bort,till högre hastighet än vad som krävs för att komma ifrån den, upp till precis innan c.

Hela. Vägen. In.

https://en.wikipedia.org/wiki/Structure_of_the_Earth#/media/File:EarthGravityPREM.svg

Så man kan flyga iväg från jorden till en punkt oändligt långt borta med en massa som kommer upp i 11,19 km/s, vilket kräver begränsat med energi.

Samtidigt så accelereras man mot jorden från en punkt oändligt långt borta upp i hastighet som närmar sig c, vilket kräver oändligt med energi?

Kanon. Då kan vi göra rymdskepp genom att droppa en massa, sticka ifrån den i över dess flykthastighet och sen accelereras tillbaka snabbare än vi åkte ifrån den.

Oändligt med energi?? Hur kommer du fram till det? Nära centrum är den riktiga kurvan ganska lik den man får från konstant densitet, fast med större lutning. I inget av fallen blir det oändlig hastighet. Parker räknar ut vad den blir i filmen, som du nog borde se nu istället för att bara fortsätta med dina egna missuppfattningar. Parker räknar rätt, men just premissen om konstant densitet är en ganska grov approximation.