*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag missade att det blir 19,64x.

Alltså:

39e^(-0,5)*4 + 19,64*4 = 83,84 m
39e^(-0,5)*7 + 19,64*7 = 138 m

138 m - 83,84 m = 55 m vilket stämmer.

Hade deriverat konstanten istället för att integrera den.

Precis, fick rätt svar nu (75 m).

Bestäm den allmänna lösningen till y'' - 4y' + 3y = 0 med digitala hjälpmedel och bestäm sedan den lösning som uppfyller y(0) = 0 och y'(0) = 1.

Jag får den allmänna lösningen till y(x) = c1e^(x) + c2e^(3x)

y(1) = c1 + c2 = 0 => c1 = -c2

y'(x) = c1e^(x) + 3c2e^(3x)
y'(0) = c1 + 3c2 = 1 => c1 = 1 - 3c2

-c2 = 1 - 3c2 =>2c2 = 1 > c2 = 1/2
c1 = -1/2

y(x) = -1/2e^(x) + 1/2e^(3x)

Stämmer detta?

Ja, det ser helt rätt ut. Det går alltid att testa att lösningen är rätt genom att sätta in den i differentialekvationen och bivillkoren och se om de är uppfyllda.

Det enda felet jag kunde se var det fetmarkerade där du skrev y(1)=... fast du har beräknat y(0) vilket var ett av begynnelsevillkoren. Har du hört talas om WolframAlpha? Där kan du skriva in din diffekv med begynnelsevillkor för att se att du gjort rätt!

http://m.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-4y%27%2B3y%3D0%2C+y%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D1& x=0&y=0

Standard vid den här typen av uppgifter är att tillämpa Lagranges multiplikatormetod.
Sätt alltså:

f(x,y) = x² + y² (= kvadraten på avståndet till origo),
g(x,y) = x⁴ + x³y + 2x²y² + xy³ + y⁴ - 6 och

L(x,y,λ) = f(x,y) + λ g(x,y).

Beräkna ∂L/∂x, ∂L/∂y och ∂L/∂λ och sätt derivatorna lika med noll. Du får tre ekvationer som bestämmer extremvärdena för avståndet från origo till kurvan g(x,y) = 0.

Lite oklart av rättaren men tack!

Det var där jag hämtade den allmänna lösningen ifrån.

Hej, har en svår fråga. Som jag fastnat över.

"Förhållandet pi/ 2 kan inte vara mindre än kvadratroten ur 2?"

Om du ritar en cirkel med radien 1 i valfri enhet, och skriver in en så stor kvadrat som möjligt i den kommer kvadratens diagonal att vara lika med cirkelns diameter, d v s 2. Kvadratens sidor blir då enligt Pythagoras sats eller på annat lämpligt sätt √2.

Cirkelns omkrets är 2*pi.
Kvadratens omkrets är 4*√2.
Cirkeln omkrets större än kvadratens eftersom kvadraten är innanför. Alltså gäller 2*pi>4*√2.
Dela båda leden med 4 så har du det du söker.

En smittsam sjukdom sprids enligt differentialekvationen dy/dt = 0,0002y(1300-y) där y(0) = 10. y är antalet personer efter t dygn.

a) Hur många har insjuknat efter 2 veckor?

y' - 0,26y = 0,0002y² vilken har lösningen y(t) = (1300e^(0,26)t)/(129+e^(0,26)t)

Vi söker y(14) = 296 st vilket stämmer.

b) När är halva populationen sjuk?

Vi söker y(t) = 1300/2 = y(t) = 650

e^(0,26)t = 129 => t = 18,69 dygn. Vilket också stämmer.

c) Hur många är sjuka när ökningen av antalet sjuka är maximal?

Här fastnar jag. Jag tänker att vi måste ta fram derivatan, eftersom den beskriver ökningen av antalet sjuka.

Derivatan får jag till: y' = (43602e^(0,26)t)/(16641 + 258e^(0,26)t + e^(0,52)t)

Bör vi inte sedan sätta y' = 0 och lösa för t då detta är en extrempunkt? Det stämmer dock inte, eftersom högerledet blir 0 och ln(0) är odefinierat.

Hur ska jag göra?

Ställ upp en integral för den volym som alstras då det område som begränsas av kurvan y = x^2 + 1 och linjen y = 5 får rotera kring linjen y = 5.

Jag får gränserna till -2 och 2. Sen bör vi ju subtrahera bort 5 från parabeln:

f(x) = x^2 - 4

x^2 = f(x) + 4

När vi har rotation kring y-axeln ska vi ju integrera med avseende på y, varför vi måste uttrycka det som:

π∫ (x^2 - 4)^2 dx från -2 till 2.

Min fråga är: Blir det inte typ en "strut där vi får med "hålvolymen" när vi gör på det här sättet?