*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Lyssna på läraren igen: "genom att beräkna gradienten till den funktion du kallar f försöker du hitta största eller minsta värde till den funktionen".

Vi har att y=(Acos√(λ)*x + Bsin√(λ)*x) samt att y(0)=0

För att villkoret y(0)=0 ska vara uppfyllt får vi

(Acos√(λ)*0 + Bsin√(λ)*0) =0

A*1+B*0=0

A=0

Alltså måste A=0

Då får vi alltså att y=Bsin√(λ)*x)

Stoppar vi in detta i vår diff ekv får vi

y=Bsin√(λ)*x
y'=√(λ)Bcos√(λ)*x
y''=-λBsin√(λ)*x

Alltså har vi att

y''+λy=0

-λBsin√(λ)*x+λBsin√(λ)*x=0

Men vi hade även villkoret y(π)=0

Alltså Bsin√(λ)*π=0

När är detta uppfyllt? Jo för heltalsmultiplar av π. Alltså måste det gälla att √(λ)=n , n∈ℤ+ (Z+ eftersom vi redan konstaterat att λ=0 endast ger triviala lösnignar) vilket då medför att λ= n²

Tack så jätte mycket!

En strålkälla i origo ger upphov till fältet F(x,y,z)= (x,y,z)/(x^2+y^2+x^2)^3/2. Bestäm flödet ut genom en sfär med medelpunkt i origo och radie R.

Hur du gjort något försök själv?

Jag tänkte mig först divergenssatsen där sfären är x^2+y^2+z^2=R^2, men det blev rätt jobbigt. Så undrar om det finns någon annan lösning?

jag ser ju också att det kommer bli (x,y,z)/R^3 när det blir sfäriska koordinater, men hur ska man hantera att det står (x,y,z) i täljaren?

Divergenssatsen fungerar inte eftersom fältet inte är definierat i origo. Du måste räkna flödet direkt utan att använda dig av divergenssatsen.

Jaha okej, så det blir ∫∫ F ·N ds. Så F= (x,y,z/R^3), va? Hur kan man ta reda på vad normalvektorn till sfären är i punkten (x,y,z)? Och gränserna också?

Fältet blir (x, y, z)/R³, en normalvektor blir (x, y, z)/R. Börja med detta innan du börjar tänka på gränser och sånt.

Jag antar också att du menad fältet (x, y, z)/(x² + y² + z²)^(3/2) i ditt ursprungliga inlägg?

Ja, fältet är jag med på. Det är normalvektorn jag inte greppar. Hur såg du att det blir (x, y, z)/R)? Ja jag menade det. Råka trycka på x istället för z bara.

Eftersom (x, y, z) är en vektor som pekar rakt ut från origo mot punkten (x, y, z). Normen på denna vektor är R, en en normalvektor är (x, y, z)/R i punkten (x, y, z).

Jaha, nu förstår jag!! Det var inte svårare än så alltså. Så integralen blir ∫∫ 1/R^2 ds om jag räknat rätt? Hur blir gränserna? Jag tänker att eftersom det är en dubbelintegral är vi på xy-planet och då borde z=0, men aa vet inte om man kan göra så mycket mer. Hur tänker du?