*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Någon som kan bevisa medelvärdessatsen då
f(a)=f(b)?
f(a)=f(b)=0?

I min bok, Persson & Böiers: Analys i en variabel, står det allmänna beviset.

Jag tänker direkt på att om f(a)=f(b) så har vi en rät linje, varför vi måste leta efter ett extremvärde vars punkt ∈ [a,b] som uppfyller satsen. Eller?

Men om f(a)=f(b)=0 då?

Ingen?

Det stämmer att sannolikheten är (1/12)⁷. Det behöver dock inte vara samma hästar som deltar i de olika loppen, så det är lite vanskligt att överhuvudtaget prata om repetition. På samma sätt är det inte meningsfullt att prata om hänsyn till ordning eftersom man bara bryr sig om förstaplatsen.


Det stämmer att man kan skriva det som summan av de tre sannolikheterna. Du har dock skrivit fel på vad de tre sannolikheterna blir. Det första argumentet till kombinationsfunktionen är inte 12 utan 7 (man ska ju välja vilka av sju lopp man får rätt på). Dessutom så är det inte bara C(n,k) som är sannolikheten utan du behöver även multiplicera med sannolikheten för rätt respektive fel (dvs 1/12 respektive 11/12 med lämpliga exponenter).

Om f(a) = f(b) så är satsen inte tillämpbar eftersom det i så fall inte nödvändigtvis finns några mellanliggande värden. Det kan ju vara en horisontell linje men det kan även vara något som ser ut som exempelvis en sinusfunktion (där värdet periodiskt blir detsamma). Man kan alltså inte säga något om vilka värden som f(x) antar mellan a och b om f(a) = f(b), oavsett om det gemensamma funktionsvärdet är noll eller något annat.

För det första, att f(a) = f(b) innebär inte att f är en rät linje, exempelvis så kan man ju a f(x) = (x - a)(x - b) som inte är en rät linje men det gäller att f(a) = f(b).

I fallet då f(a) = f(b) så säger medelvärdessatsen att om f är kontinuerlig på [a, b] och deriverbar på (a, b) så existerar det en punkt c i (a, b) sådan att f'(c) = 0.

För att hjälpa med beviset så är stegen så här:

1. Om det inte gäller att f är konstant på intervallet [a, b] så motivera varför det existerar ett maximum eller minimum på intervallet (a, b). För att göra det så tänk på att f är kontinuerlig på [a, b].

2. För detta maximum/minimum, motivera varför derivatan är noll.

Detta bevisar medelvärdessatsen i detta fallet.

Fallet då f(a) = f(b) = 0 är bara ett specialfall av f(a) = f(b).

Förstår inte helt i det här fallet. Är inte sannolikheten för 5 rätt, C(7,5)*C(7,2) det vill säga 5 rätt och 2 fel? Ska vi inte multiplicera detta med antalet gånger vi kan välja också?

Eller vänta, bör det inte vara:

(7 över 5)(1/12)⁵(11/12)² + (7 över 6)(1/12)⁶(11/12)¹ + (7 över 7)(1/12)⁷(11/12)⁰?

Ja, det stämmer.

I lotto väljer du ut 7 olika nummer av 35 utan hänsyn till ordning. I dragningen dras sedan 7 nummer slumpvis av de 35.

Hur stor är sannolikheten att du får alla rätt på Lotto, dvs. att de 7 nummer som du valt är just de 7 nummer som dras? Vilken av de fyra kombinatoriska modellerna passar in på detta spel?

Är det inte som förra fallet, med V75, att sannolikheten bör vara (7/35)⁷? Vad anser ni är den kombinatoriska metod som passar in? Enligt matten liknar det med repetition, med hänsyn till ordning (n^(k)) men vi skulle ju inte ta hänsyn till ordningen.

I Lotto får man utdelning även för 4, 5 och 6 rätt. Hur stor är chansen att få 4,5,6 eller 7 rätt utan tilläggsnummer?

Bör inte detta vara:

(7 över 4)(7/35)⁴(28/35)³ + (7 över 5)(7/35)⁵(28/35)² + (7 över 6)(7/35)⁶(28/35)¹ + (7 över 7)(7/35)⁷(28/35)⁰ eftersom det är P(4 rätt) + P(5 rätt) + P(6 rätt) + P(7 rätt)?

Ja, precis så blir det. Man tar som sagt inte hänsyn till ordning när det gäller numren man väljer i lotto. Eftersom vart och ett av de valda numren kan vara rätt eller fel oberoende av de andra man valt så blir det multiplikation av sannolikheterna.

Fast vad är då skillnaden mellan detta och V75? Vilken av de fyra kombinatoriska metoderna passar in på V75 respektive Lotto?

De här två fallen är i grunden mycket lika. Jag vet inte vad "de fyra kombinatoriska metoderna" kallas i din bok, så för att få svar på den andra frågan så får du utveckla.