Kan man beskriva något fullständigt med symboler?

Går det att förvissa sig om att ett symbolspråk verkligen innefattar allt som symbolerna pekar på. Hur kan man försäkra sig om det? Antag att jag kastar ur mig ett av axiomen i ZFC (existensionalitet):

∀x∀y[∀z(z∈x ⇔ z∈y)=> x=y]

Om alla delmängder z till två mängder x, y är lika, så är mängderna samma mängd, x=y.

Hur kan vi försäkra oss om att mängderna x, y beskrivs fullständigt av dess ingående delar? Tänk om x också innehåller någon annan egenskap för att vara just x, som inte delas av y? Då är x och y egentligen inte samma mängd, men enligt den här definitionen är de det. Och det är väl det tråkiga svaret, nämligen att symbolerna aldrig är mer än vi definierar dem till att vara.

Om vi skulle göra om detta axiom för att innefatta även den andra egenskapen som x har; är systemet mer eller mindre fullständigt då, eller precis lika fullständigt? Det vill säga, är ett system lika fullständigt, oberoende av vilka grundläggande definitioner vi väljer? Om svaret är nej, kan vi veta om vi har beskrivit det mest fullständiga systemet?

Hur vet vi att mängdläran beskriver objektet som mängdläran pekar på fullständigt?

Jag inser att tråden kan vara ganska svårtolkad, men jag hoppas att diskussionsämnet framgår.

Om vi ska vara vetenskapliga så kan vi väl inte veta att x och y är samma mängder, men vi kan kanske ta reda på att de INTE är det. Man får jobba med falsifiering helt enkelt.

Om du har en nuvarande teori om att x och y är identiska mängder så måste du försöka motbevisa den. Finns det motbevis har teorin fallit. Att leta efter "bevis" för att x och y är samma är inte ett vetenskapligt sätt att arbeta på eftersom teorin inte kan falsifieras genom att man söker bekräftelse på det man redan observerat.

Sen angående ifall systemet blir mer fullständigt för att man tar hänsyn till fler egenskaper så vet jag inte hur man bör se det, men man kan säga att en teori blir lättare att falsifiera ju färre parametrar den tar hänsyn till. Så risken är förstås mycket större att den faller snabbt om den är väldigt generell för att ersättas med en snävare med fler parameterar i.

Hör hemma i akademisk filosofi.

Vad hände med TS?

Varför inte? Vi har ju definierat det som att de är samma mängder och då är de det. Däremot kan det finnas ett annat system där likheten innefattar fler egenskaper. Enligt den nuvarande definitionen skulle de inte vara samma mängd med en sådan definition.

Låt DBO = "Det beskrivna objektet", dvs. objektet som symbolerna pekar på.

Det du skriver har du rätt i, men jag söker ändå lite mer. Kan vi, redan när vi ställer upp definitionen, vara helt säkra på att det inte finns någon annan definition som beskriver DBO bättre än den definition vi valt? Det vill säga att vi har valt det mest fullständiga sättet att beskriva DBO på.

Utöver detta undrar jag även över systemet som man ställer upp definitionen inom (här mängdläran). Kan vi på något uttala oss om hur väl anpassat det systemet är för att beskriva det vi vill beskriva? Är det ens möjligt att använda mängdläran för att beskriva DBO fullständigt?
Rapportera-funktionen finns fortfarande där av en anledning, haha!

Min infallsvinkel är mer praktisk än teoretisk.

Två objekt kan bara vara lika om de har samma identitet. Annars omdefinierar vi likhetsoperatorn och kan inte förvänta oss att ett system är konsistent i övrigt.

Alla egenskaper måste vara kopplade till objektens identitet. Hur skulle vi annars kunna komma åt dessa egenskaper?

Det blir ganska uppenbart om man programmerar en relationsdatamodel. För att kunna ingå i en mängd så måste varje objekt definiera likhetsoperatorn så att två objekt är lika om de har samma identitet. Objektens egenskaper kommer man åt genom uppslagningar utifrån objektets identitet och egenskapens identitet. Två objekt med samma identitet kan då inte ha olika egenskaper, vilket garanterar konsistens i det aktuella avseendet.

Är inte så säker på att jag fullständigt förstår frågan (!) men som en sidonot till frågeställningen så tror jag aldrig man kan nå något fullständigt eller fullkomligt av den enkla anledningen att det skulle krävas att precis alla möjliga perspektiv inbegrips i bedömningen av det som nu frågan handlar om, och det är en omöjlighet. Ska man t ex. avgöra sanningshalten av ett påstående och frågan inte är riktad till en enskild part, som hur sann är frågan ur X synvinkel, så blir då frågan öppen för allt och alla och inte förrän vi hört allt och allas perspektiv i frågan så kan vi hävda att påståendet är fullständigt eller fullkomligt besvarat. Det finns alltså, som jag uppfattar det, objektiva/fullständiga/fullkomliga sanningar sett från mänsklig synvinkel men vi kan aldrig nå dem.
Av samma anledning ser jag begränsning i vad man kan uttrycka med symboler. Känslor är väl det bästa exemplet. Vem kan påstå sig fullkomligt kunna beskriva en förälskelse med vårt begränsade antal symboler? Eller den som stod på första parkett i det ena tornet när det andra träffades av flygplanet mitt framför ögonen i New York. Den personen kommer aldrig fullständigt kunna beskriva hur det kändes att vara med om en sån händelse.

Okej, men om vi har definierat det som att x och y är samma mängder så bör vi ju också ha definierat vad deras delmängder z är. Och innehåller då x och y dessa delmängder så är x och y samma mängder utifrån våra givna kriterier, dvs här att de har samma delmängder z.

Och ställer vi då upp ytterligare kriterier för delmängderna så kanske inte x och y är samma mängder enligt den definitionen, nej, men de olika kriterierna används väl i olika kontexter så ingen av definitionerna är mindre korrekt vad jag kan se, givet att villkoren är olika i de två fallen.

T ex om vi definierar x och y som samma om de bara innehåller Europeiska länder och deras delmängder z alla är länder i Europa så är den första definitionen ok.

Men om vi sedan vill ta med som kriterier att länderna är ska vara fastländer och delmängderna till x bara innehåller fastländer medan det i y finns en ö så är de inte samma mängder utifrån den definitionen.

Jag tycker i alla fall att båda systemen är lika fullständiga. Sen vilken man bör använda beror ju på sammanhanget. De beskriver ju DBO lika bra båda två utifrån sina kriterier.

(Jag tog ett icke-matematiskt exempel för jag antar att du inte vill begränsa dig till enbart matematik eftersom du postar i filosofi.)


"Bättre" blir som jag antytt ett relativt ord enligt mig som beror på våra kriterier. Men i praktiken vet man väl oftast inte hur många kriterier/parametrar som är viktiga så av den anledningen blir det väl oftast svårt att förvissa sig om huruvida man har valt det mest fullständiga sättet att beskriva DBO på eller inte.


Gissar att mängdläran såsom det mesta annat är under utveckling så det är ju fullt möjligt att systemet som det ser ut idag inte är anpassat för alla fall. Det måste väl tagit ett tag innan man insåg att man kunde dela upp tal i rationella och irrationella, t ex.

Jag vet inte riktigt hur jag ska hålla mig till den här frågan. Är det inte uppenbart att symbolspråket handlar om symbolerna och inget annat.

Hur tänker du?

Det gäller att skilja på mängder och på elementen i mängden. Elementen i mängden av allt som är blått kan vara av väldigt olika slag. Men varje sådant objekt är ett element i mängden av alla blå objekt. De tillhör även mängden av alla objekt som har färg.

Mängder och element är abstraktioner, och det är snarare så att de inte ska innehålla alla egenskaper. Det ligger i ordet abstrahera.


Här måste man fråga sig vad som menas med bättre och med fullständig. Liksom man ovan får fråga sig vad man menar med peka på.

∀x∀y[∀z(z∈x ⇔ z∈y)=> x=y]
är en sats uttryck med predikatlogik. Predikatlogiken svarar inte på frågor om bra/dåligt, fullständigt/ofullständigt. Den, och satslogiken som den bygger på, tar inte upp peka på i betydelsen denotation, eller kanske i referens. Sådana termer förekommer i olika former av lingvistik, se t ex https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_(linguistics)

Mitt svar är alltså att jag tror att själva frågeställningen är ett category mistake
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_mistake

Däremot är
∀x∀y[∀z(z∈x ⇔ z∈y)=> x=y]
sant i alla möjliga världar för alla möjliga element i mängderna x, y och z


[ tillägg
för att nysta vidare med vad man vill lägga till för att kunna ställa frågorna, och ställa krav på fullständighet, pekare, bra m.m så får man titta på modallogik och olika former av extensionalitet

"Extensionalitet inom logiken kännetecknas först och främst av att det bara är de ingående satsernas extension som har betydelse för operatorernas resultat. Två objekt med samma extension ska ge samma resultat. Vad det betyder att två objekt har samma extension beror på vilket objekt man betraktar."
https://sv.wikipedia.org/wiki/Modallogik

]

Ja det tror jag också.

Jag förstår dina invändningar och jag håller med om många saker. Exempelvis att använda sig av värdeord utan att definiera vad som ska anses värdefullt. Men jag skulle vilja hävda att jag inte gör ett category mistake ("a property is ascribed to a thing that could not possibly have that property") här, utan att jag helt enkelt inte formulerat mig tillräckligt bra. Category mistakes är också godtyckliga med tanke på att de beror på hur man definierar egenskaperna hos föremål. Förtydliga gärna vad du menar med category mistakes om jag missuppfattat beskrivningen i länken. Om jag gör följande definition
så innebär det inte att det är en definition som stämmer väl överens med alla föremål som är allmänt vedertagna som soffor. Hundar har fyra ben men anses sällan vara soffor. Min poäng är att det en soffa skulle kunna ha andra egenskaper (läs definieras annorlunda) men en ny definition och de egenskaper man tillskriver en soffa behöver inte nödvändigtvis sammanfalla med den tidigare definitionen. Frågan om category mistakes förflyttas då till om egenskaper är något inneboende hos föremål eller någonting som tillskrivs föremålen först efter att man definierat dem.

Ett försök till struktur
(1) Antagande. Antag att alla objekt har inneboende egenskaper oberoende av hur objekten är definierade.
(2) Definition. Definiera fullständighet som ett mått på hur väl en definition överensstämmer med objektets inneboende egenskaper. Allt som inte är fullständigt är ofullständigt. Om alla inneboende egenskaper inte täcks in av definitionen är definitionen således ofullständig.
(3) Definition. Ju fler inneboende egenskaper som täcks in av definitionen, desto bättre eller mer fullständig är definitionen. Ju färre inneboende egenskaper som täcks in av definitionen, desto sämre eller mindre fullständig är definitionen.

Exempel: Antag att ett objekt, hunden, har precis de inneboende egenskaperna H = {djur, brun, skäller} men en definition av hund ges av: D(H) = "Det som skäller är en hund". Det innebär att definitionen är ofullständig. Däremot är definitionen D2(H) = "Allt som är ett djur, är brunt och skäller är en hund" fullständig och även mer fullständig än D(H).

Med detta som bakgrund formulerar jag om frågorna i trådstarten:

• Kan man redan innan man ställer upp en definition avgöra om definitionen är mer eller mindre fullständig? Kräver det inte vetskap om allt som definierar objektet som ska definieras?
• Gör nu en analogi till axiomet i trådstarten. Måste vi inte veta allt om de objekt som ska definieras för att kunna avgöra om det är den bästa definitionen eller inte? Således, kan vi vara säkra på att fullständig existensialitet råder när definitionen är uppfylld?
• Är symbolspråket tillräckligt för att fullständigt kunna beskriva alla de inneboende egenskaper som ett objekt har? Kan vi försäkra oss om detta? Om ja, hur?