*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Va? Förstår inte.

Det där är bra rekursionen du redan har. Notera att (2k + 2)/(2k + 3) = 2(k + 1)/(2k + 3) = 2²(k + 1)²/((2k + 3)(2k + 2)). Så det är ingen fakultet som försvinner.

Fakulteter är ju en produkt av ett antal på varandra följande heltal. Man kan alltså exempelvis skriva (k + 1)! = (k + 1)*k!. Uttrycket som du fetmarkerat är rekursivt, dvs det uttrycker I_{k + 1} med hjälp av I_k. Det är ju samma faktorer i fakulteterna i I_{k + 1} och I_k, förutom att I_{k + 1} har några extra faktorer eftersom k+1 är större än k.

Vi vill visa att det gäller att 4(p + 1) < 2^(p + 1) då vi vet att 4p < 2^p. Notera nu att

4(p + 1) = 4p + 4 < 2^p + 2^p

Här är 4p < 2^p enligt antagandet, samt att 4 < 2^p eftersom p > 5. Sedan är 2^p + 2^p = 2*2^p = 2^(p + 1). Så man har alltså att 4(p + 1) < 2^(p + 1), vilket är vad vi vill visa.

Vänsterledet blir ju 4(p + 1), vilket är lika med 4p + 4. Enligt induktionsantagandet så är 4p < 2ᵖ. Trivialt gäller även att 4 < 2ᵖ då p > 2 (och således än mer så då p > 5). Alltså är 4p + 4 < 2ᵖ + 2ᵖ, och 2ᵖ + 2ᵖ är ju samma sak som 2*2ᵖ, vilket i sin tur är samma sak som 2ᵖ⁺¹.

Förstår allt förutom varför det fetade gäller.

Förstår!

Tack, nu förstår jag!

Tack.

Hittat på internet. Krävs det mer avancerad matte? Jag förstår inte hur jag ska visa detta.

Nja, det kräver inget extra utöver gymnasiet. I en aritmetisk serie så gäller ju aₙ₊₁ = aₙ + k (där k är inkrementet), så med tre steg (7 - 4) så blir det just 3k som blir ökningen. På samma sätt blir det mellan element 12 och 20 just (20 - 12)k = 8k.

När man ska visa att det finns en invers funktion så gäller att f(x1) =/ f(x2)

Om man deriverar funktionen och visar att den är växande för alla X, innebär det att funktionen är one-to-one?

T.ex. f(x) = x^5 + x^3 + 3x

f´(x) = 4x^4 + 3x^2 + 3

Vad händer om funktionen skulle avta för negativa x och växa för positiva?