*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Kan någon hjälpa mig med denna? Jag försökte ladda upp den innan men det gick nog inte?

Linjen L1 är skärningen mellan planen x-2y-z=4 och 2x-y+z=2, och linjen L2 innehåller punkten (2,1,3) och är vinkelrät mot planet y+z-7=0. Bestäm avståndet mellan L1 och L2.

Som sagt, börja med att läsa Wikipediaartikeln jag länkade som ger räkneexempel på hur man tar fram singulärvärdesdekomposition.

Om du skriver ut ditt försök här så får du svar på om du gjort rätt eller fel.

Det fungerar i grunden på samma sätt som om det hade varit ekvationer med likhetstecken mellan vänster och höger sida.

På den första så börjar du alltså med att addera 10 på båda sidor så att det blir 2x > 10 och sedan dividerar du med 2 på båda sidor.

Skriv ut dina försök här så får du svar på om du gör rätt eller fel.

Börja med att ta fram ekvationen för L1 på parameterform genom att lösa det underbestämda systemet

x - 2y - z = 4
2x - y + z = 2

dvs ekvationerna för de två planen som L1 är skärningslinje för. Det ska alltså ge en ekvation på formen (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(x₁,y₁,z₁).

Eftersom L2 är vinkelrät mot det tredje planet så är den parallell mot planets normalvektor, dvs L2 har en riktningsvektor som är lika med planets normalvektor. Således ges ekvationen för L2 av (x,y,z) = (2,1,3) + t(0,1,1).

När du har ekvationen för L1 så kan du därför bestämma avståndet mellan L1 och L2 med hjälp av sambandet som beskrivs här (den fjärde rutan uppifrån).

Om du skriver ut ditt försök här så får du svar på om du gjort rätt eller fel.

a) lim (x→0^+) x ln(sin x)
b) lim (x→0) (sin(cos x))/cos x
c) lim (x→0^+) x³e^(1/x)

(uttrycken (x→0) ska som bekant egentligen stå under lim)

Felpost. Edit: men jag kan nog hjälpa till lite ändå kanske inser jag i efterhand.

a) lim (x→0^+) x ln(sin x)
Småvinkelapprox. sinx ~ x (kan även ses med Taylorexpansion kring origo, alltså Maclaurinutveckling och bortse från högre ordningens termer som är försumbart små)
lim (x→0^+) x ln(x) = 0
Standardgränsvärde, se http://www2.math.uu.se/~asplund/repenvar/stdgrv.pdf

Rimligtvis är tanken att du ska använda Taylorserierna för de här funktionerna för att bestämma gränsvärdena. Om du skriver ut dina försök här så får du svar på om du gjort rätt eller fel.

a) xln(sin x) = x/sin(x) * sin(x) ln(sin x).
Notera nu att x/sin(x) → 1 då x → 0, samt att sin(x) ln(sin x) = t ln(t), där t = sin(x). Nu är lim{x→0} sin(x) ln(sin x) = lim{t→0} t ln(t) = 0.

Alltså går x ln(sin x) mot 0 då x → 0.

b) Här behöver du bara notera att sinus och cosinus är kontinuerlig samt att cos(0) = 1.

c) Exponentialfunktioner växer extremt mycket snabbare än vad ett polynom skulle mäkta med. Så denna bör du kunna se att den går mot ∞.

Är det inte lite overkill? Det räcker väl med ungefär det som innesko postat ovan tänker jag.

Jo, vid en närmare titt så är det nog enklare med de lösningarna.

For the given function about the Point specified to approximate the indicated value. Estimate the error, and write the smallest interval you can be sure contains the value.

Use second order Taylor polynomials P2(x)

f(x) = 1/x about 1: approximate 1/(1.02)

Taylorpolynomet:

f(x) = 1/x

f´(x) = -1/x^2

f´´(x) = 2/x^3

a = 1

f(x) = 1 - (x-1) + (2(x-1)^2)/ 2

Hur går jag vidare härifrån?

Vad har du fått fram? Onödigt köttigt att behöva räkna ut dualen själv innan man kan hjälpa dig. Men i stort sett är det bara att rita ut bivillkoren, samt någon nivåkurva till dualens målfunktion och titta efter vilken nivåkurva som minimerar problemet inom det tillåtna området.