*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hur kan jag använda att sin(1) = 0.84147 ± 5 × 10^-6 för att estimera sin(1.1) rätt till 3 decimaler?

Jag har kommit fram till att de 3 första termerna i Taylorutvecklingen för sin(1.1) är tillräckligt för att felet ska vara mindre än 1/1000, d.v.s.

sin(1.1) ≈ 1.1 - (1.1^2)/(2!) + (1.1^5)/(5!)

men hur använder jag sin(1) = 0.84147 ± 5 × 10^-6 för att ta reda på decimalerna hos sin(1.1)? Är det ens möjligt eller har jag tolkat uppgiften fel?

Variansen σ² är alltså kvadraten av standardavvikelsen σ. Ekvivalent är alltså standardavvikelsen roten ur variansen.

Att differensen eller summan av två normalfördelade variabler också blir normalfördelad är en egenskap man ska känna till. Det står troligtvis inte i formelbladet, så du behöver veta det själv.

Du kan ju använda Taylorutveckling runt x = 1. Då blir sin(1,1) ≈ sin(1) + [derivatan av sin(x) för x = 1]*0,1 plus eventuellt högre ordningens termer.

Då får du visserligen cosinustermer, men då utnyttjar du bara trigonometriska ettan så kan du uttrycka cos(1) med hjälp av sin(1).

Bestäm x.

l 2x - 2 l - l x - 3 l = 7

Jag delade upp i 3 olika fall.

x≥3 , 3 > x ≥ 1 , 1 > x

x≥3

2x - 2 - x - 3 = 7
2x - x = 12
x = 12

3 > x ≥ 1

2x - 2 + x - 3 = 7
3x = 12
x = 4

1 > x

-2x + 2 - x - 3 = 7
-3x = 8

x = 8/-3

FACIT: X = -8 ELLER X = 6 VART GJORDE JAG FEL?

Juste sambandet såg ut sådär mellan varians och standardavvikelse. Men då vill jag vara beräkna sannolikheten P(-1 < X-Y<-0.5) och det gör jag vl genom att integrera täthetsfunktionen för normalfördelning(som vi har i formelbladet) och gränserna blir -1 till -0.5, eller?

Jo, det är nog rimligt att tolka det som att ekvationen bara ska ha de två lösningarna.


Ja, du derivarer. Det ger dock en sinusfunktion, men även den har 1 som maxvärde.


Ja, det stämmer.

Citat:

Ursprungligen postat av nihilverum

Jo, det är nog rimligt att tolka det som att ekvationen bara ska ha de två lösningarna.

Så min tolkning är helt fel? Borde det inte stå endast? Vad betyder v1 och v2 då? vinkel 1 och 2? Måste man inte ange mer än det i så fall?

Tack för svaren

Jo, det stämmer i princip. Dock går det inte att beräkna den integralen symboliskt eftersom normalfördelningens fördelningsfunktion inte kan skrivas på sluten form. Istället behöver du omvandla X-Y till en N(0,1)-fördelad variabel genom att subtrahera väntevärdet μₓ-μᵥ och sedan dividera med standardavvikelsen √(σₓ²+σᵥ²) (det måste du göra med både X-Y och gränserna). Sedan kollar du i tabellen som du högst troligt har för N(0,1)-fördelningen för att hitta sannolikheterna (du får alltså beräkna sannolikheten för att vara inom intervallet som en differens mellan två sannolikheter eftersom din tabell troligtvis bara innehåller sannolikheter för att en N(0,1)-variabel är mindre än vissa värden).

I första fallet så har du skrivit -x - 3 när det ska vara -(x-3).

I andra fallet så har du räknat rätt, men svaret du fått fram (x=4) uppfyller inte kravet du gjorde för att ställa upp det fallet. Kravet var ju att 1 < x ≤ 3 och du fick fram x = 4. Det är alltså en falsk rot.

I tredje fallet har du glömt parenteserna igen. Det ska vara

-(2x - 2) - (-1)*(x-3) = 7
-2x + 2 + x - 3 = 7

Hur är det bästa sättet att utveckla en t.ex. (3x -3)^10 term? Jag förstår inte riktigt formeln jag tror är rätt för den här typen.

Det bästa sättet är att använda binomialsatsen. Det står i artikeln hur du beräknar koefficienterna.

Man kan ju prova additionsformeln för sinus:

sin(1.1) = sin(1+0,1) = sin(1)cos(0.1) + sin(0,1)cos(1).

* vinkeln 0,1 rad = 5,7296° är ”liten” så sin(0,1) ≈ 0.1
* cosinusfaktorerna fås med trigonometriska ettan

sin(1) = 0,84147 ger därmed:

sin(1,1) ≈ 0,84147*√(1-0,1²) + 0,1*√(1-0,84147²) ≈ 0,8913.

Min hp11C visar: sin(1,1) = 0,891207.