*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Nja, jag vet inte hur jag ska få fram planets normal. Jag ser för övrigt att jag råkade skriva att kryssprodukten blir 0, jag menade skalärprodukten.

bumpar detta inlägget igen, och hoppas jag kan få ett svar från dig @nihliverum. Då jag använde mig av tipset du gav mig angående olikheten sin(phi)<=cos(phi)

Du får fram planets normal genom att beräkna kryssprodukten mellan två vektorer som ligger i planet eller är parallella med planet (det går även bra om den ena vektorn ligger i planet och den andra är parallell med planet).

Eftersom att planet är parallellt mot linjen, så har dem samma normalvektor.

Du har alltså x² + y² + z² = 1 och √(x² + y²) = z vilket är samma sak som att x² + y² = z² (men bara för positiva z).

Sätter du in den andra ekvationen i den första får du z² + z² = 1, dvs 2z² = 1 eller z = 1/√2. Sedan får du θ_max ur sin(θ_max) = (1/√2)/1 = 1/√2, dvs θ_max = π/4.

Jag borde ha tänkt på det.

Okej. Hänger med på hur du får z = 1/√2, men varför bara för positiva z?

Och θ_max metoden är något jag inte tidigare lärt mig. Vad går den ut på? Är det någon specifik anledning att du delar 1/√2 med 1? Delar du med sfärens radie eller?
sin(θ_max) beror på z-värdet där dem båda regionerna skär varandra samt den stora sfärens radie , eller?

Edit: Glömde fråga, finns det inget sätt att komma fram till den korrekta olikheten rent algebraiskt?

Bara positiva z eftersom originalvillkoret var √(x² + y²) = z och √(x² + y²) är alltid positiv.

Det stämmer att jag dividerar skärningskurvans z med cirkelns radie. I den här uppgiften är ju radien 1.

Det är ju en väldigt grafisk uppgift, så det enklaste sättet att hitta det maximala värdet på θ är att visualisera som jag beskrev.

Behöver ta reda på vilken punkt i planet som innehåller punkterna (1,3,-1), (1,1,0) och (-1,3,2), ligger närmast punkten (-2,-2,1).

Har fått fram att planets ekvation är 3x + y + 2z = 4. Hur gör jag för att veta vilken punkt i planet som ligger närmast punkten (-2,-2,1) utifrån det?

Du hittar en generell lösning på detta problem på den här sidan.

Tänk dig att du vill projicera ner punkten på planet. Alltså föreställ dig att solen strålar över punkten och punktens skugga är en punkt på planet (punkten faller ner vertikalt tills den träffar planet). Det är denna punkten på planet som är närmast punkten.

Om du skapar en linje som utgår från punkten (-2,-2,1), där du använder planets normalvektor som linjens direktionsvektor så har du linjen du behöver ("den vertikala skuggan").
Denna linjen kommer att ha ekvationen (x,y,z)=(-2,-2,1)+t(3,1,2). (Planets normalvektor är n=(3,1,2)).

Nu behöver du bara hitta punkten där linjen skär planet. Sätter du in linjens ekvation i planets ekvation och löser t, så kommer du hitta den punkten.

Okej. Men undre integrationsgränsen för phi är aldrig negativ eller? Hur vet man att den är lika med 0? Är det helt enkelt att man utgår ifrån z-axeln?