*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hade en liknande uppgift på en tenta i linj.alg förra året. Kolla http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma660/1516/ och tentamen 151026.

EDIT: meddelandet var tänkt för markus25

Hur använder jag egentligen derivatans definition för att visa att en funktion har en viss derivata?

Ta t.ex f(x)=1/x

Ställ upp derivatans definition och manipulera uttrycket tills du kan dra gränsvärdet.

lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h
lim_h->0 (1/(x+h)-1/x)/h
lim_h->0 ((x-(x+h))/(hx(x+h)))
lim_h->0 -1/(x²+hx)
-1/x²

Hur svårt det är att derivera mha definitionen skiljer sig kraftigt mellan olika sorters funktioner, men ofta räcker det med rätt grundläggande algebra

Jag ska beräkna gränsvärdet lim (x,y) -> (0,0) för (x^3-2y^3)/(2x^2 + y^2). Då kom jag först fram till att om vi närmar oss från x-axeln går det mot -2y och närmar vi oss från y-axeln går det mot x/2. Sen tänkte jag att man skattar 0 <= | f(x,y) + 2y| = några steg här.... = | (φ*cosγ + 4*φ*(cos^2(γ)/sinγ)) / 3 |.

Men vad kan jag göra sen? Har jag gjort rätt att man ska göra skattningar för verkade på föreläsaren som att man alltid ska göra det om man inte direkt kan se att det inte finns något gränsvärde?

Jag löste nyss xy' = y² - 2y men jag vet inte varför den kan löses som en vanlig separabel ekvation. Tidigare har jag löst ekvationer där y och y' ingår och då förstår jag att man använder kedjeregeln baklänges men nu är ju y och y² med, borde inte båda dessa ge varsin inre funktion vid derivering så att de också finns två y'?

Bestäm cos2x om a) cos x = 0,5

1 - (0,5)^2 = sin^2x

0,75 = sin^2x

sin = +-√0,75

Nästa Steg:

cos2x = cos^2x - sin^2x

cos2x = (0,5^2) - (+-√0,75)^2 Blir cos2x alltid i första eller andra kvadranten?

Edit; ser att jag går ett steg för långt, det räcker fram till det fetstilade?

Om jag har en linje på parameterform och ekvationen till en elliptisk paraboloid, hur gör jag för att beräkna skärningspunkterna? Det är svårt att sätta dessa två lika med varandra för det går ju inte när de är på två olika former.

Ska man skriva om linjen till en ekvation, hur i så fall?

Det där blev väl ändå fel? På x-axeln gäller y=0 så (x³ - 2y³)/(2x² + y²) = x/2 → 0 då (x, y) → (0, 0), och på y-axeln gäller x=0 så (x³ - 2y³)/(2x² + y²) = -2y → 0 då (x, y) → (0, 0).


Som du ser ovan är gränsvärdet 0 oavsett om du går via x-axeln eller y-axeln. Det skulle dock kunna vara något annat för en annan riktning.


Du kan gå över till polära koordinater här också:
(x³ - 2y³)/(2x² + y²) = (r³ cos³ φ - 2r³ sin³ φ)/(2r² cos² φ + r² sin² φ)
= r (cos³ φ - 2 sin³ φ)/(2 cos² φ + sin² φ)

Under förutsättning att (cos³ φ - 2 sin³ φ)/(2 cos² φ + sin² φ) är begränsad går ovanstående mot 0 då r → 0. Och nämnaren 2 cos² φ + sin² φ är strikt positiv eftersom båda termerna är icke-negativa och de aldrig är noll samtidigt. Täljaren är klart begränsad. Därför är (cos³ φ - 2 sin³ φ)/(2 cos² φ + sin² φ) begränsad.

Alltså gäller att (x³ - 2y³)/(2x² + y²) = r (cos³ φ - 2 sin³ φ)/(2 cos² φ + sin² φ) → 0.

Paraboloiden har en ekvation på formen p(x, y, z) = 0, där p är ett polynom (i tre variabler).
Linjen har du på formen (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (ux, uy, uz).
Skärningspunkterna uppfyller därför ekvationen p((x0, y0, z0) + t (ux, uy, uz)) = 0.
Lös denna ekvation m.a.p. t och sätt sedan in t i linjens ekvation för att få ut skärningspunkterna.

Aa menade såklart det första där med x-axeln och y-axeln, råkade skriva fel bara. Men hur ser du att gränsvärdet är 0 efter man kollat x-axeln och y-axeln?

Sen tog ju jag 0 <= | f(x,y) + 2y |, men varför skippar du +2y där? Föreläsaren tog alltid med gränsvärdet där som man fick när man kollade x-axeln eller y-axeln.

När du löser ekvationen genom variabelseparation, y'/(y² - 2y) = 1/x, så använder du faktiskt kedjeregeln baklänges.

Du utför en obestämd integral av båda led, ∫ dy/(y² - 2y) = ∫ dx/x. Detta ger dig en primitiv funktion L(y) till 1/(y² - 2y) och en primitiv funktion R(x) till 1/x. Alltså har du (d/dx) L(y(x)) = L'(y(x)) y'(x) = y'/(y² - 2y) och (d/dx) R(x) = R'(x) = 1/x.

Som du ser är y'/(y² - 2y) derivatan av L(y(x)) enligt kedjeregeln.

Värdet x/2 får du om du placerar dig i punkten (x, 0) som ligger på x-axeln. Men när du följer x-axeln ska du ju inte stanna vid ett visst x utan låta x → 0. Och du borde se att x/2 → 0 då x → 0.


Var har jag skippat 2y? Jag har konstaterat att 2y → 0 då (x, y) → (0, 0).
Du tar här | f(x, y) - f(0, y) |, men är det inte | f(x, y) - lim f(x, y) | man ska ta?