*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Okej, vad innebär det då ifall man sätter en negation framför?

¬(Jonas kommer på festen ∨ Martin kommer på festen)

Detta innebär alltså att ingen av de kommer på festen, eller att en av dom kan komma?

Det innebär att ingen av dem kommer.

Det som negeras är unionen av möjligheterna:

• Jonas kommer
• Martin kommer
• Båda kommer

När alla dessa negeras är det enda återstående alternativet att ingen av dem kommer.

Jag har en fråga. Vilken av A, B, C har störst chans att vinna vid singla slant?
Dem signlar slant via denna takt: ABCABCABCABC osv.

Den som får krona vinner.
Svaren är P(A) = 4/7
P(B) = 2/7
P(C) = 1/7

Hur ska man tänka?

Vi vet att om det vore hundra deltagare som singlar slant så kommer den 100e deltagaren säkert vara en garanterad förlorare.

Tänk så här:

A kan vinna ett "nystartat spel" genom att vinna i första omgången eller att vinna i någon senare omgång.
Sannolikheten att A vinner i första omgången är 1/2.
För att A ska vinna i någon senare omgång så får ingen av A,B,C vinna i första omgången samtidigt som A ska vinna ett "nystartat spel".
Sannolikheten för att ingen vinner, ingen får en krona, i första omgången är 1/8 (1/2*1/2*1/2).

P(A) = sannolikheten att A ska vinna ett "nystartat spel", kan då beräknas så här:

P(A) = 1/2 + 1/8*P(A) -> P(A) = 4/7

På liknande sätt beräknar du sannolikheten för att B ska vinna ett "nystartat spel" P(B).

P(B) = 1/4 + 1/8*P(B) -> P(B) = 2/7

1/4 är sannolikheten för att A inte får en krona i första omgången (1/2) gånger sannolikheten att B får en krona i första omgången.

Och slutligen stackars C

P(C) = 1/8 + 1/8*P(C) -> P(C) = 1/7

Den första 1/8 i ekvationen ovan är sannolikheten för att A inte får en krona i första omgången (1/2) gånger sannolikheten att B inte får en krona i första omgången (1/2) gånger sannolikheten att C får en krona i första omgången.

"Tricket" här är alltså att om ingen vunnit efter första omgången så är allt som från början och man kan se det som att spelet är "nystartat".

Med samma resonemang finner man att sannolikheten för spelare nummer k att vinna om det är n spelare är

P(k) = 2^(-k)/(1-2^(-n))

Sätt in k = 100 och n = 100 så ser du vad sannolikheten att den sista slantsinglaren av 100 vinner.

Hej!

Jag har nu försökt lösa 2 uppgifter men det blir fel hela tiden.

1. Bestäm i vilken punkt parabeln 3x+1=y^2-y-1 skär den positiva delen av y-axeln och bestäm även den punkt på kurvan som har minst x-koordinat. Använd kvadratkomplettering för att bestämma den punkt på parabeln som har minsta x-koordinat.

2.Lös ekvationen log a(2x^2-7)=2 log a(x-1), där a>1

Kom gärna med förslag på lösning all hjälp uppskattas

Vänligen

V = sant

Betrakta funktionen f(x,y)=e^(x^2+y^2)

a) Bestäm funktionens stationära punkter och klassificera dem om möjligt

Detta har jag gjort. Första- och andraderivatan och sedan tillämpa AC - B^2 testet för att klassificera punkten (0,0). Punkten är en lokal min. punkt.

b) Visa att funktionen har ett minsta värde (globalt minimum).

Hur gör jag detta? I en annan uppgift där en definitionsmängd var given jämförde jag ändpunkterna med nollställena för att finna största/minsta värde, men i detta fallet vet jag inte riktigt hur jag ska ta mig till.. Facit skriver detta uttryck:

((2+4x^2)(2+4y^2)-(4xy)^2)*e^(2(x^2+y^2)
=
4(1+2x^2+2y^2)*e^2(x^2+y^2) >0 för alla (x,y)
samt
2(1+2x^2)*e^2(x^2+y^2) >0 för alla (x,y)

Alltså ger (0,0) funktionens minsta värde f(0,0)=1.

Men hur tusan kommer man fram till detta?! Hjälp

Här börjar man lämpligast med att lösa ut x:

3x + 1 = y² - y - 1 ⇔
3x = y² - y - 2 ⇔
x = (y² - y - 2)/3 = [kvadratkomplettera parentesuttrycket] = [(y - 1/2)² - 1/4 - 2]/3 ⇔
x = (y - 1/2)²/3 - 3/4

För att hitta punkten där kurvan skär den positiva delen av x-axeln så behöver vi hitta en punkt där x = 0 och y-värdet är positivt. Detta ger

0 = (y - 1/2)²/3 - 3/4 ⇔ (y - 1/2)²/3 = 3/4 ⇔ (y - 1/2)² = 9/4 ⇔ y - 1/2 = √(9/4) ⇔
y = 1/2 + 3/2 = 2

Minsta x-koordinaten hittar vi genom att återigen betrakta ekvationen x = (y - 1/2)²/3 - 3/4 och eftersom z² har minsta värde 0 då z = 0 så gäller även att (y - 1/2)² har minsta värde 0 då y - 1/2 = 0 (dvs då y = 1/2). Detta ger då x-värdet 0/3 - 3/4 = -3/4.


Utnyttja logaritmlagen y*log(z) = log(zʸ) så får du ekvationen

log a(2x² - 7) = log a[(x-1)²]

Eftersom du har samma logaritmbas på båda sidor så måste argumenten till logaritmfunktionerna vara lika, vilket ger

2x² - 7 = (x-1)²

Detta blir som du kanske ser en vanlig andragradsekvation efter lite algebra. Kom bara ihåg att testa båda rötterna i den ursprungliga ekvationen log a(2x² - 7) = 2*log a(x-1) för att verifiera om någon av rötterna är en falsk rot (om 2x² - 7 < 0 eller x - 1 < 0 så har du en falsk rot eftersom den ursprungliga ekvationen inte kan evalueras i så fall).

Du krånglar till deluppgift b) mycket mer än nödvändigt.

Det räcker med all sannolikhet att hänvisa till att x² + y² ≥ 0 för alla reella x och y, att x² + y² = 0 endast för x = y = 0, samt att eʷ > 1 för alla reella w > 0.

En cyklist åker nerför en lång backe. Hastigheten vid backens topp är 6,5 m/s och accelerationen nerför backen är 1,2 m/s^2.

d) Hur lång tid tar det innan cykeln når backens slut, om backen är 58 meter lång?

Jag vet formeln för sträckan men jag lyckas inta lösa ekvationen och få reda på vad t är.

Lite osäker själv men gör ett försök..
Det första uttrycket är determinanten av hessianen (matrisen med andraderivatorna, ∂²f/∂xi∂xj där x1=x och x2=y). Om den är >0 överallt kommer alla stationära punkter att vara max eller minima. Det andra uttrycket är ∂²f/∂x² som de visar är >0 överallt, vilket utesluter maxpunkter.

Dock håller jag med om att detta är onödigt tillkrånglat i det här fallet. Antar att de använder ett enkelt exempel för att illustrera en allmän metod.

"Visa att om a>0, så gäller att a = ((x√b)) ⇔ log_a b = x [((x√b)) , med detta menar jag "x:e roten ur"]".

((x√b)) = b^1/x som ger

b = a^x. Jag vet dock inte hur jag ska fortsätta här.