*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Tänk på att ditt p=-8 och inte p=8.
Alltså x = -(-8)/2 ± √(8/2)² - 7

Jaha, tack!

Kan ekvationen även vara på formen;

x² - px + q = 0?

Mathematics fuel my life.

Vad händer om p<0?

Det är klart att en ekvation kan vara på den formen, men det är olämpligt för det allmänna fallet. Du härleder ju dessutom pq-formeln ur x² + px + q = 0.

Jag har;

x² = 8x + 20

x² - 8x = 20

x² - 8x - 20 = 0

x_1 = (8/2) + √(8/2)² - (-20) = (√16+20) = √36 + 4 = 10 och x_2 = -6 + 4 = -2

Facit säger någonting helt annat.

Ser väl bra ut? Förutom att du i det fetstilta glömde skriva ut (8/2) termen.

Vad säger facit då?

Hittar verkligen ingen förklaring på detta, tacksam för svar.

Låt f: R->R med f(x)=x+a där a∈Z_+
Vad är f^n(x) då n∈Z_+?

Svar: f^n(x)=x+an

Kollade fel - hade rätt.

Behöver hjälp med den här;

2x² + 24x - 266 = 0

Det verkar kanske väldigt grundläggande men vad är det som försiggår bakom följande (länka gärna allmänna regler för rottutryck och hur man kan manipulera dessa)


√12 = (√(4*3)) = 2*√3

Hur man man bara bryta ut tvåan så? (Beror ju självfallet på att √4 = 2, men hur går det matematiskt ihop?)

2x² + 24x - 266 = 0
x² + 12x - 133 = 0

med pq-formeln:
x = -(12/2) ±√((12/2)^2 - (-133))
= -6 ±√(169)
= -6 ± 13

x_1 = 7
x_2 = -19

-----------------------------------------------
Ett annat sätt som kan vara roligt att lära sig är som följer:
Antag att polynomet har rötterna x_1 och x_2. Det kan då skrivas
P(x) = (x-x_1)·(x-x_2) = x² - (x_1+x_2)x + x_1·x_2
Vanligtvis skriver vi dock polynomet som
P(x) = x² + px + q

Men med ovanstående kan vi ju identifiera att
p = - (x_1+x_2)
q = x_1·x_2

Detta system blir ganska lätt att lösa (du vet ju redan p och q) om x_1 och x_2 är heltal (vilket oftast är fallet i gymnasieuppgifter). Så om du ser en fin andragradsekvation, med heltalskoefficienter, så kan du börja med att anta att den har heltalsrötter. Då ska du alltså leta efter heltal x_1 och x_2 sådana att
q = x_1·x_2

Tecknet på q anger om rötterna har samma eller olika tecken! Använd sedan de olika heltalskombinationer du kan tänka dig för att se om någon matchar
p = - (x_1+x_2)

Personligen kan jag lösa de flesta andragradare i huvudet på några sekunder, givet att q inte är för stort och att lösningarna faktiskt är heltal! (Övning ger färdighet)

Testa till exempel med din ekvation
x² + 12x - 133 = 0

I detta fallet är dock q jobbigt stor. Men om du primtalsfaktoriserar 133 får du 19 och 7. Eftersom q är negativ måste rötterna ha olika tecken. Alltså ska du leta efter differensen mellan dessa två tal (19-7 eller 7-19). Du ser att 19-7=12. I och med att du måste ha ett teckenbyte enligt
p = - (x_1+x_2)
är således rötterna -19 och 7.

För icke-negativa tal har du att
√(..) = (..)^½

Så för två icke-negativa tal a och b behöver du endast betrakta potensreglerna.
√(a·b) = (a·b)^½ = a^½ · b^½ = √a · √b

Om nu exempelvis a kan skrivas som en kvadrat, a = c², får du då
√(a·b) = √a · √b = √(c²) · √b = |c| · √b

|..| är absolutbeloppet, eftersom √((..)²) = |..| för reella tal.

I ditt exempel är b = 3 och a = 4 ⇒ |c| = 2

( Har inte nämnt det men jag har nyttjat konventionen att √(..) svarar mot den positiva roten, +√(..) )