*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Frågade någon gång i våras men fick inget svar så försöker igen.

Vi har integralen ∫cosx*e^(-x^2) dx över hela reella axeln (dvs från -∞ till ∞)

Hur löser man den algebraiskt?

Vet efter att ha sett ett lösningsförslag att ∫cos(x)*e^(-x^2) dx kan skrivas om som

∫(cosx-isin(x))*e^(-x^2) dx =∫(cosx)*e^(-x^2) -∫isin(x)*e^(-x^2)dx

eftersom för ∫isin(x)*e^(-x^2)dx så är integranden en udda funktion på ett symmetriskt intervall och således är den integralen noll.

Noterar även att ∫(cosx-isin(x))*e^(-x^2) dx=∫(e^-ix)*e^(-x^2) dx

Nu ser vi tydligen att vi har definitionen för en fouriertransform för funktionen e^(-x^2) och kan beräkna integralens värde med hjälp av det.

Men det finns ingen chans i världen att jag skulle komma på något sådant själv. Så min fråga är om det är någon som vet något enklare och mer intuitivt sätt att lösa integralen?

Om du ska beräkna värdet så gör du om det inom parentes till polär form och använder sedan de Moivre. Vet du inte hur du gör något av stegen kollar du lämpligen några sidor längre bak i boken.

Ett mer direkt sätt och rakt på är att nyttja residysatsen. En halvcirkelkontur från -R till R över en lämplig integrand som sammanfaller med integranden över realaxeln, ML-skattning och sedan låter man R → ∞. Känns det bekant?

Låt z=sqrt3-i, vi vill skriva z^100 på polär form.

|z|=2 --> |z^100|=|z|^100=2^100

arg(z)=2pi-arctan(1/sqrt3)=2pi-pi/6=12pi/6-pi/6=11pi/6
arg(z^100)=100*argz=100*11pi/6=50*11pi/3, kan nu ta bort 2pi ett visst antal gånger och ändå få samma vinkel, alltså är 100*argz=50*11pi/3-546/3pi=4pi/3

då är z^100=(sqrt3-i)^100=2^100(cos4pi/3+isin4pi/3)

Jo absolut, nu när du säger det. Tack!

Det som är så skevt är att på mitt program är fourier/PDE-kursen obligatorisk men komplex analys ligger som valbar.

√(4T + 1) = 3 - 3T
(^2)

4T + 1 = (3 - 3T)^2

sen vid nästa steg blev jag osäker:

4T + 1 = 9 - 18T + 6T^2


Gör jag rätt?

Okej tack så mycket! Vi har inte gått igenom arc ännu men kommer göra det, då kommer jag troligtvis hur man räknar på det efter den lektionen. För nu förstår man ingenting haha

Nästan. (3T)^2 = 9T^2, inte 6T^2.

Jag ska bevisa följande uppgift. Gjorde först ett motbevis men fick sen reda på att implikationen var sann. Hur ska jag göra för att bevisa den?
http://imageshack.com/a/img540/4650/NDksx0.jpg

Tack! Fortsätter dock med problem.. =/


√(4T + 1) = 3 - 3T
(^2)
4T + 1 = (3 - 3T)^2
4T + 1 = 9 - 18T + 9T^2 (-4T, -1)
9T^2 - 22T + 8 = 0 (/9)
T^2 - 22T/9 + 8/9 = 0 (PQ)

T = 22/9/2 +- √((22/9/2)^2 - 8/9)
T = 11/9 +- √(49/81)

Hur gör jag nu?

Hur kan jag bestämma alla x tillhör reella talen sådana att ln x = (ln(1/x) - ln(x^2))/(ln(e/x)+ln(x^3)+ln(ex)-ln(x^2)). Jag tänkte att man kan skriva om ln(x^2) som 2*lnx med logaritmlagarna. Men sedan vet jag inte om man bara kan stryka -2*lnx i täljaren och nämnaren.

Nej, så fungerar inte division. Den måste vara en faktor i både nämnare och täljare för att kunna strykas.