Kan ni kika på detta, verkar det ok. Deadline är måndag och jag har inte kunnat arbeta med seminarium eller någon matematik på 3 veckor pga återfall. (Ni behöver en latexkompilator för att översätta till PDF)
Läraren är en proffessor av den noggranna typen. Stavfel och sådant är dock inte så noga
Kod:
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{1em}
\begin{document}
\textbf{Uppgift 1 Seminarie 2}\ \\
Lös ekvationen (1) $$2|{x^2-3}|=x$$
Eftersom vi inte vet om $x\geq0$ så delar vi upp i två fall. Vi påminner oss om definition av absolutbelopp.
Absolutbeloppet av av ett reellt tal $|x|$ definieras som,\\
$|x|=x$ då $x\geqslant 0$ och $|x|=-x $ då $x<0$\\
\\
Källa PB \textbf{1.3}
\textbf{Fall 1} $$x\geqslant 0$$
Vi kan helt enkelt ignorera absolutbeloppet ersätta med parenteser och erhåller ekvationen,
$$2(x^2-3)=x$$
$$\Updownarrow$$
$$2x^2-x-6=0$$
med lite simpla alegbraiska omskrivningar (dela HL,VL med 2 och subtrahera x på bägge sidor.
$$x^2-\dfrac{x}{2}-3=0$$
PQ-Formeln (som läsaren ska kunna) ger oss att (1) medför att, (men implikationspil här eftersom det omgällda ej nödvändigt är sant)
$$ \Downarrow $$
$$x=-\dfrac{1}{4}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}+3}$$
Ytterligare addition med bråk och förenklangar trillar lösningarna ut till ekvaionen (2),\\
$$x=-\dfrac{1}{4}=\pm\sqrt{\dfrac{49}{16}}$$
$$\Updownarrow$$
$$x_{0}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$$
$$x_{1}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{8}{4}=2$$
Nu bör man kanske ställa sig frågan,\textit{Är dessa lösningar till (1)? Nja, en kontroll behöver vi göra eftersom vi inte visste om $x\geq 0$.} Denna kontroll låter vi Mathematica utföra av min personliga lathet men kunde göra dessa själva. Viktiga är att inte vara naiv och tro att det är korrekta lösningar till (1)
Jaha, är dessa de enda lösningarna eller är det öht taget lösningar till (1) ? Vi löser fall 2 och testar våra lösningar helt enkelt.
$$2(x^2-3)=-x$$
$$\Updownarrow$$
$$2x^2+x-6=0$$
Återigen, vi delar med 2 på VL och HL och löser ut $x$ med PQ-formeln som tidigare.
Vi får att då med samma tillvägagånende och får en ekvation vi enkelt att löser (eftersom vi vet hur man löser reella andragradare)
$$x_{2,3}=-\dfrac{1}{4}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}+3}$$
$$\Updownarrow$$
$$x_{2}=\dfrac{1}{4}\pm\sqrt\dfrac{49}{16}$$
$$\Updownarrow$$
$$x_{2}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$$
$$\Updownarrow$$
$$x_{3}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{7}{4}=-\dfrac{8}{4}=-2$$
Ok, Vilka av dessa lösningar uppfyller ekvation (1) då?
Alla? Nej, i och med att vi ej visste om x var poitivt eller negativt kan inte det vara fallet. Vi måste pröva!
Vi kan enklast använda Mathematica men eftersom det går rätt enkelt för hand så för vi in värderna i (1) HL och ser om det uppfyller VL eller ej.\\
Vi ser att endast två av 4 lösningar uppfyller (1) Nämligen,$x_{3}=-2$ och
$x_{2}=-\dfrac{3}{2}$
Kontroll I Wolfram Mathematica ger samma svar
Reduce[2*Abs[-3 + x^2] == x, x]\\
Vill man se en grafisk lösning kan man plotta
x == 3/2 || x == 2
Plot[{2*Abs[-3 + x^2], x}, {x, 1.25, 2.25}]
\end{document}
