Jag förstår inte alls vad jag ska göra efter jag har utvecklat VL
81sin^2x+Cos^2x-18cosxsinx=Acos2+Bsin2x+C
Du har termer innehållande cos(2x), sin(2x) samt en konstant i HL. På något sätt vill du skriva om VL så även det bara innehåller termer med cos(2x), sin(2x) samt konstanter.
För att göra detta kan du utnyttja följande trigonometriska samband:
Du har termer innehållande cos(2x), sin(2x) samt en konstant i HL. På något sätt vill du skriva om VL så även det bara innehåller termer med cos(2x), sin(2x) samt konstanter.
För att göra detta kan du utnyttja följande trigonometriska samband:
Söker lite kritik på hur formellt jag löser dessa uppgifter. Jag ska ha omtenta för femtielfte gången i komplex analys och examinatorn är en väldigt sträng rättare när det kommer till själva lösningsgången och resonemang.
Uppgift
Bestäm alla z∈ℂ sådana att:
a) exp(z) > 0 (som betyder att exp(z) är reellt och positivt)
b)cos(z)+isin(z)=1+i (svara i formen z=x+iy)
c) Log(z²) = 2Log(z)
Min lösning till a
exp(z)=exp(x+iy)=exp(x)*exp(iy), där exp(x)=|z| samt exp(iy)=arg(z)
Vi vet att exp(x) ∀x∈ℝ.
Gällande exp(iy) har vi att exp(iy)=cos(y)+isin(y).
Om exp(z) > 0 ska vara 1.positivt och 2. reellt så får vi ifrån krav 2 att isin(y)=0 ⇒y=πn, n∈ℤ.
Om exp(z) > 0 ska vara positiv måste cos(y) vara positiv vilket sker då vinkeln y är i högra delen av enhetscirkeln.
Krav 1 och 2 blir då tillsammans att y=2πn
∴ Vi får att z=x+iy, där x∈ℝ och y=2πn, n∈ℤ
Min lösning till b
Vi vet att exp(iz)=cos(z)+isin(z)=1+i
Med logaritmfunktionen får vi:
log(exp(iz)) = log(1+i) = ln|1+i|+iarg(1+i) = ½ln(2)+i(π/4 + 2πn) = iz ⇔ z = (π/4 + 2πn) - ½iln(2), n∈ℤ.
Uppgift c vet jag inte hur jag ska lösa, några fingervisningar?
Ett tag sen jag höll på med trippeintegraler med så jobbiga gränser men jag gör ett försök. Kan du inte göra så här:
x + y + z ≤ 2
x - y² + z ≥ 0
x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
Linjärt variabelbyte enligt:
u = x + z
v = y
w = z
Detta ger att dxdydz = dudvdw (lämnas som övning att kontrollera).
u + v ≤ 2
u - v² ≥ 0
u - w ≥ 0, v ≥ 0, w ≥ 0
Börja med att integrera i w-led där vi får gränserna 0 ≤ w ≤ u. Sedan har vi i u-led gränserna v² ≤ u ≤ 2 - v och till slut i v-led där gränserna blir 0 ≤ v ≤ 2.
Nästan rätt nu, gränserna på v ska vara 0 ≤ v ≤ 1. Förstod det du gjorde med gränserna men vet ej hur du tog fram övre gränsvärdet för v, facit visar tyvärr inte sin lösning på detta.
Nästan rätt nu, gränserna på v ska vara 0 ≤ v ≤ 1. Förstod det du gjorde med gränserna men vet ej hur du tog fram övre gränsvärdet för v, facit visar tyvärr inte sin lösning på detta.
Ursäkta, undersökte inte de gränserna så noggrant närmre utan antog att dina sista var korrekta. Men så här gör man så det blir korrekt:
v² ≤ u ≤ 2 - v
Så för vilka v gäller att v² ≤ 2 - v, det vill säga det ovanför är ett meningsfullt uttryck?
v² ≤ 2 - v ⇔ v² + v - 2 ≤ 0 ⇔ (v + 1/2)² - 9/4 ≤ 0 ⇔ (v + 1/2)² ≤ 9/4
Detta ger att:
-3/2 ≤ v + 1/2 ≤ 3/2 ⇔ -2 ≤ v ≤ 1
Men vi krävde ju tidigare också att v ≥ 0 vilket ger oss integrationsgränserna 0 ≤ v ≤ 1.
Den andra ser bra ut som den där. Angående den första är det aningen förvirrande att du säger att exp(x) = |z|. Det du har är ju snarare att w = e^z och det gäller att |w| = e^x. Jag skulle helt enkelt bara formulera det såhär:
e^z = e^x·e^(iy)
Såklart gäller att e^x > 0 och e^(iy) är ett komplext tal på enhetscirkeln (i det komplexa talplanet). Det enda tal på enhetscirkeln som kan ge oss att e^z > 0 (positivt och reellt) är såklart e^(iy) = 1 vilket kräver att y = 2πk där k är ett heltal. Alltså z = x + i·2πk där x är ett reellt tal och k är ett heltal uppfyller att e^z > 0. Din undersökning med e^(iy) = cos(y) + isin(y) är också fullgott.
För den tredje, hur påverkas argumentet av att höja upp ett komplext tal till 2? Inom vilket argumentintervall avbildas Log? Tänk på dessa saker så är uppgiften inte så svår att lösa sen.
