*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hej, tack för ert svar. Jag har suttit med den där satsen en stund, och jag är osäker på hur jag tillämpar den. Skulle uppskatta en utförlig förklaring för hur ni löste uppgiften.

/Greg

oj, jag ville förtydla att x större än lika med 0.

Polär form:

Vi ska lösa z⁴ + 1 = 0 ⇔ z⁴ = -1. Låt z = re^(iφ) och -1 = e^(iπ). Vi får av de Moivres formel:

z⁴ = (re^(iφ))⁴ = r⁴e^(4iφ) = -1 = e^(iπ)

Identifiering ger oss att r⁴ = 1 ⇔ r = 1 och 4φ = π + 2π·k ⇔ φ = π/4 + π/2·k där k är alla heltal.

Vi får alltså att z = 1·e^(i(π/4 + π/2·k)) = e^(iπ/4 + iπ/2·k). Sätt nu in k = 0, 1, 2 och 3 för att få fram de unika lösningarna (fyra stycken) på rektangulär form.

Rektangulär form:

Vi har att z⁴ = 1 ⇔ z⁴ = -1. Detta innebär att z² = i (1) eller z² = -i (2).

(1): Sätt z = x + iy vilket ger z² = x² - y² + 2ixy = i. Observera sedan att |z²| = |z|² = x² + y² = |i| = 1. Vi sammanfattar dessa ekvationer:

Re: x² - y² = 0
Im: 2xy = 1
Abs: x² + y² = 1

Adderar vi den första ekvationen till den tredje får vi att 2x² = 1 så x = ± 1/√2. Den andra ekvationen ger oss y = ± 1/√2 så här får vi lösningarna:

z = 1/√2 + i·1/√2 eller z = -1/√2 - i·1/√2

(2): Analogt med ovan ger oss lösningarna z = -1/√2 + i·1/√2 eller z = 1/√2 - i·1/√2.

Sammanfattningsvis, z = 1/√2 + i·1/√2, z = -1/√2 - i·1/√2, z = -1/√2 + i·1/√2, z = 1/√2 - i·1/√2 vilket som förväntat är totalt fyra lösningar.

Har du kikat på exemplet som fanns i artikeln?

för vilka x gäller

2arcsin x = pi -arcins(2xsqrt(1-x^2))

sin(pi -arcins(2x sqrt(1-x^2)) - 2arcsin x)

sin(pi -arcins(2x sqrt(1-x^2))*cos(2arcsinx)-sin(2arcsin x)cos(pi -arcins(2x sqrt(1-x^2))

är jag på rätt spår?

Det finns också andra begränsningar. Om man låter 0=<x och x^2+1 < pi/2 så går det att få en invers. Det går att utöka området med vissa x där x^2+1 > pi/2.

Funktionen tan(x^2+1) är odefinierad överallt där x^2+1 kan skrivas pi/2+n*pi. Man kan välja många intervall att hitta en invers på.

Han eller hon skrev dock fel, det var inversen till y(x) = arctan(x² + 1) som skulle tas fram och denna är ju inverterbar om x ≥ 0.

Men om man endast har x >= 0
och f(x)=arctan(x^2+1) blir inte då inversen sqrt(tanx-1) ?


Jag är grundligt förvirrad.

Det ser bra ut. Vill man vara extra tydlig kan man ju gärna ta med definitionsmängder och värdemängder.

f(x) = arctan(x² + 1) för x ≥ 0 och i och med att f(x) är strängt växande då x ≥ 0 och π/4 ≤ arctan(x² + 1) < π/2 har vi alltså D_f: [0, ∞[ och V_f = [π/4, π/2[.

Tar vi fram inversa funktionen får vi (då x ≥ 0) f^(-1)(x) = √(tan(x) - 1) och definitionsmängden här ges av D_f^(-1) = V_f = [π/4, π/2[.

Tjena,

"Bestäm alla heltal x sådana att 370 är delare i 2078x-1"

Någon som kan förklara hur man går tillväga för att lösa denna uppgift?

Tjabba, vi jobbar nu med deriveringar i skolan och det har gått helt okej. Fastnade dock nu på en uppgift där man ska räkna temperaturen på en maträtt som sätts in i ugnen. Formeln ser ut såhär y=220-200*e^(-k*x).

Första frågan lyder: Efter 15 minuter(x=15) är temperaturen y=53 grader, bestäm konstanten k.

Jag har lyckats lösa liknande uppgifter med hjälp av vanlig algebra, men nu får jag problem, vet inte hur jag ska hantera 220-200 i uttrycket, vad ska jag göra med dem?

Skulle uppskatta all hjälp som erbjuds!

y(15) = 220 - 200·e^(-15k) = 53 [°C]

Detta ger 220 - 200·e^(-15k) = 53 ⇔ 220 - 53 = 200·e^(-15k) ⇔ e^(-15k) = 167/200 ⇔ -15k = ln(167/200) ⇔ k = -1/15·ln(167/200) ≈ 0.012.