alltså så är inversen av y = sqrt(tanx-1)
Stämmer detta, har jag gjort rätt?
Funktionen har ingen invers över alla reella tal, eftersom y(-x) = arctan((-x)² + 1) = arctan(x² + 1) = y(x), det vill säga, flera x ger samma y-värde.
"Låt p(x) = -2x^3+2x^2+x+1 Visa att ekvationen p(x)=0 saknar rationella lösningar. Motivera ditt svar."
Skulle upskatta om jag fick svar på uppgiften.
Tack på förhand!
/Greg
Denna sats kanske kan leda dig på rätt spår? Antingen använder du satsen rakt av och testar kandidaterna eller så använder du bevisidén och tillämpar denna på ditt polynom.
Hur ska man tänka på denna uppgift:
Lös ekvationen
X^4 + 1 = 0
Jag tänker: X^4 = -1 ---> x = (-1)^(1/4) ---> inslagen på miniräknare ---> x = -1
Men man ska få 4 lösningar i komplexa talplanet.
Hur gör man detta steg för steg så att man förstå hur det ska bli det?
Kan till att börja med säga att x=-1 inte är en rot. Troligtvis har du slagit precis som du skrev, -1^(1/4), men då miniräknaren (oftast) ger potenser förtur, så har den istället beräknat -(1^(1/4)). Det du borde ha slagit vore (-1)^(1/4). Nåväl.
Ett sätt att tänka sig det hela, nu när svaren ska finnas i det komplexa talplanet, är att istället för att se varje komplext tal som z=a+i*b (Låt härefter 'z' vara något tal/någon koordinat i det komplexa talplanet) så ska du se det som |r|*exp(i*arg(z)), där 'r' är avståndet till origo från z och arg(z) är dess vinkel från x-axeln, mätt från första kvadranten.
Fördelen med att se det på så sätt, särskilt för den här uppgiften, är att du vet att varje gång du multiplicerar ett komplext tal med ett annat så adderas vinklarna medan längden multipliceras. Dock eftersom vi här vet att varje 'r' är konstant 1, och varje vinkel är konstant för varje gång vi multiplicerar någon av rötterna med sig självt, så är det enda vi behöver finna de vinklar som, adderade, uppgår till just 180 grader.
Den första roten är exempelvis 1*exp(i*(45 grader)), detta för att 45*4 = 180, och exp(i*arg(180)) = -1+i0. Den andra roten finnes på liknande sätt; Då är istället arg(z) = 135 grader. Adderas den vinkeln med sig själv fyra gånger, har man gått 1.5 varv runt i cirkeln och hamnar återigen på 180 grader. Den tredje roten är 225 grader, då 225*4=900grader, eller 2.5 varv.
Låt säga att vi har ett Hilbertrum med en ON-bas (e_n). För vanliga euklidiska rum är det ju så att varje punkt i rummet kan representeras som en linjärkombination av de baser som spänner upp rummet, oavsett om basvektorerna är ortonormerade eller inte. Kan samma sak göras för ett Hilbertrum? Alltså, att varje punkt 'x' i H kan skrivas som just en linjärkombination av e1, e2, e3,...
