Hur förstå andragradsekvationer?

Håller på och repeterar matte till HP och har glömt det mesta ang andragradsekvationer. Använder mig av PQ-formeln men det känns som att man räknar på ren mekanik utan någon som helst baktanke. Jag stoppar bara in siffrorna - får ut rätt svar men förstår knappast vad jag gör.

Jag har försökt att förstå exemplen i boken där man kör med kvadratkomplettering och kvadrering bakifrån utan att bli klokare. Är det bara att acceptera hur det ligger till helt enkelt? Jag minns för något år sen när jag började med andragradsekvationer att jag då också hade svårt att förstå beviset men PQ-formeln var en räddare i nöden.

PQ-formeln bygger på kvadratkomplettering, så när du har förstått kvadratkomplettering förstår du också varför du räknar som du gör. Nej, jag tycker inte du ska "acceptera hur det ligger till" utan ta upp boken igen och försök förstå det. Vad är det specifikt du inte förstår med kvadratkomplettering?

Kvadratkomplettering är ett väldigt enkelt koncept, och det ger dig en hel del att kunna det. Förutsatt att du faktiskt vill/behöver förstå det.

Jag har kollat på denna video med en skön lirare som förklarar bra. En sak förstår jag dock inte.

7.02 in i detta klipp http://www.youtube.com/watch?v=ZBhfTBwCKJk börjar han räkna ut sin andragradsekvation.

Kan någon förklara processen med varför det blir -4, roten ur 16 - 7? Hur vet man att det ska vara så?

Det lättaste sättet är väl att förstå det grafiskt. Rita några andragradsekvationer på rutpapper och förstå hur det hänger ihopa. Att ett nollställe är där den skär x-axeln. Att alla andragradskurvor antingen är som en kulle eller en dal och skär x-axeln 2 gånger, osv.

Nä. y=x² skär (tangerar) x-axeln exakt en gång, och y=x²+1 skär x-axeln noll gånger.

Vi säger att jag ska bryta ut detta tal.

x^2 - 16x + 14 = 0

Detta blir till

x(x-16)

så långt är jag med. Men vad händer med talet 14?

Det blir inte till
x(x-16)

Utan till
x(x-16) +14=0

Ja, det blir x(x-16) + 14 = 0

Av det jag har förstått så ska det första x:et alltid vara noll.
x = 0
x-16 + 14 = 2

x1 = 0
x2 = 2

Eller är jag ute och cyklar nu?

Om du ska kvadratkomplettera ska du inte bryta ut x sådär.

Kvadratkomplettering:
x^2 - 16x = (x - 8)^2 - 8^2

Ekvationen kan alltså skrivas (x - 8)^2 - 64 + 14 = 0, dvs (x - 8)^2 = 50.

Har typ sett 3 videos på youtube nu om kvadratkomplettering men förstår fortfarande inte allt. Det är lite hokus pokus över detta, blir fan frustrerad.

Om vi tar detta tal då

3x^2 + 24x + 43 = 0

Man börjar med att dividera alla tal med tre.

får x^2 + 8x + 43/3

flyttar över konstanttermen till andra sidan.

x^2 + 8x = 43/3

Nu blir det nåt hokuspokus, ska tydligen bli 16 i både VL och HL. Varför?

x^2 + 8x + 16 = 43/3 + 16

x^2 + px skrivs om till (x + p/2)^2 - (p/2)^2.

Man tar alltså halva koefficenten för förstagradstermen, använder den i parentesen och kompenserar sedan för att man får en kvadrat av den.

I ditt exempel är p = 8. Hälften av 8 är 4. Parentesen blir därför (x + 4)^2. Men nu får vi en term för mycket, 4^2, som vi måste kompensera för: (x + 4)^2 - 4^2. I ekvationen flyttas denna konstanta term sedan över till högerledet: (x + 4)^2 = 43/3 + 4^2.

För att x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2

Man tittar på konstanten framför det "enkla" x-et, i det här fallet åtta, så ser man hur man ska göra. Hade din ekvation lytt: x^2 + 6x = 43/3 hade vi lagt till 9 på båda sidorna istället, då x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2. Vi gör såhär för att få hela ena ledet "innanför" en upphöjning, för då kan vi invertera den genom att ta roten ur.

Alltså, när vi har en ekvation x^2 + a*x + b = c så försöker vi skriva om den till (x + d)^2 = e så att vi kan sätta x + d = +- sqrt(e). Det är det lättaste sättet att "få bort" upphöjningen. (a, b, c, d och e är konstanter, om inte det framgår.)