Hur förstå andragradsekvationer?

I räkneexemplet blir det (x+4)^2 = 48/3 - 43/3. Ska 5/3 motsvara 16, eller vart försvann talet 16 efter kvadreringen?

x + 4 = roten ur 5/3.

x + 4 = +-1,66

x1 = 5,66
x2 = -2,34

Vad vi är ute efter är att kunna skriva om uttrycket x^2 +2ax till (x+a)^2, om vi utvecklar (x+a)^2 får vi x^2+2ax+a^2. Vi kan använda ett trick där vi tar bort och lägger till ett tal,
x^2+8x=x^2+8x+16-16 och nu kan vi använda kvadreringsregeln, x^2+8x+16-16=(x+4)^-16.
I ditt fall lägger man till 16 i varje led, samma sak.

Jag förstår inte ett skit, får återvända imorgon. Tyvärr grabbar. Tack ska ni ha ändå.

Låt oss ta ett exempel. Lös ekvationen x^2+6x-4=12

Du är bekant med kvadreringsreglerna, right? Bra. Första kvadreringsregeln: (a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2

Låt oss nu se om första kvadreringsregeln kan hjälpa oss lösa den ursprungliga ekvationen.

Tänk om vänsterledet i den ursprungliga ekvationen kunde skrivas som en kvadrat mha. kvadreringsregeln. Då skulle vi få något i stil med (x+något)^2=12. Denna ekvationen skulle vi sedan lätt kunna lösa genom att dra roten ur bägge led och få x+något=+-sqrt(12).

Men kan vi skriva om x^2+6x-4 som (x+något)^2 mha. kvadreringsregeln? Nej, det går ju inte...synd. Hur kan detta lösas då?

x^2+6x=12+4 Om vi flyttar över 4:an till högerled så har vi x^2+6x kvar i vänsterled.

x^2+6x skulle vi ju kunna skriva om som en kvadrat? Nej, juste, då skulle den behövt en lämplig konstantterm också. Attans.

x^2+6x=12+4 <=> x^2+6x=16

Låt oss skriva om ekvationen så här: x^2+2*3*x=16 OBS! Vi har inte ändrat något, bara skrivit om koefficienten framför x-termen som 2 gånger något.

Kolla på vänsterledet nu och jämför det med kvadreringsregelns högerled. Det ser ganska likt ut va? (tänk att x är a och 3 är b, se fetmarkering) Skillnaden är att kvadreringsregelns högerled har en term mer, b^2.

x^2+2*3*x=16 Om vänsterledet skulle ha en lämplig term så skulle den kunna skrivas om som en kvadrat.

Låt oss därför lägga till en lämplig term. Jag adderar 3^2 på bägge led.

x^2+2*3*x+3^2=16+3^2 Detta får vi ju göra, vi får ju lägga till vad vi vill så länge vi gör det på bägge led.

Nu händer det spännande grejer.

x^2+2*3*x+3^2=16+3^2 Vänsterledet kan nu enligt kvadreringsregeln skrivas som (x+3)^2 (Kontrollera gärna genom utveckling om du inte tror mig)

Vi har alltså: (x+3)^2=16+3^2 Högerledet kan vi skriva som 16+9=25=5^2

Nu har vi: (x+3)^2=5^2

Likheten kan endast stämma om x+3=5 eller x+3=-5 <=> x=2 eller x=-8

Se där, vi löste ekvationen utan någon "mekanisk" PQ-formel.

48/3 = 16

Absolut, jag kan förstå att det kan framstå som rent hokuspokus. Men det är ett trick som man använder för att få VL till en smidig kvadrat.

Minns kvadreringsregeln: (x+b)^2 = x^2 + 2bx + b^2. Det är dit vi vill få VL.
Så till x^2 + 8x vill vi lägga till något som gör att vi får uttrycket på ovanstående form.

För att få dem att vara lika så behöver koefficienterna till x^2- och x-termerna samt konstanttermen vara lika. x^2-termen är redan OK. För att få x-termen att bli OK måste vi välja b så att 2b = 8, dvs. b = 4. Nu har vi bestämt b, så för att komma fram till den önskade kvadraten måste vi lägga till b^2 = 4^2 = 16.

Dvs, vi lägger till 16 på båda sidorna.

Vilket man kan inse om man ritar några stycken som inte skär x-axeln

Ja? Det var inte vad du sade:

Tack för din förklaring, men jag förstår fortfarande inte.

Just när man ska kvadrera och lägga till nån random siffra förstår jag mig inte på alls. Känns inte alls logiskt på något sätt.

Om vi tar ett litet enklare exempel.

Lös: x^2+2*x=1

Det vi VILL göra är få x ensamt på något sätt. Ett sånt sätt är att skriva det på formen (x+1)^2 men det är tyvär inte det uttrycket vi har, (x+1)^2=x^2+2x+1 men vi har bara x^2+2x.

Nu använder vi ett av mattematikens bästa trix, vi lägger till 0. Så x^2+2x = x^2+2x+1-1.

1-1 är ju 0, så det kan vi lägga till utan problem.

Vår ekvation är då nu.

x^2+2x+1-1=1

Är du med på ATT vi kan göra så? Och är du med på att det är bra att få x ensamt någonstans?

Sen vet vi ju att x^2+2x+1=(x+1)^2 så det bara byter vi ut. Då får vi
(x+1)^2-1=1

Och härifrån är det ju lätt att lösa.

Om du har en likhet, säg 5=5. Då kan du ju "lägga till nån random siffra" hur du vill, så länge du gör samma sak i bägge led.

Ex. 5+3=5+3

5+9=5+9

5+956=5+956

Likheten stämmer alltid oavsett!

Alltså är du med på att man får addera en "random" siffra om man skulle vilja, så länge man gör det på bägge sidor?

Nu är det ju dock så att siffran faktiskt inte är slumpmässig. Siffran måste vara den siffra som gör att uttrycket kan skrivas som en jämn kvadrat.

En fråga till dig: Ta tex. x^2+6x , vad saknar detta uttryck för att bli en jämn kvadrat?

Nja, du kan ju inte klippa ut det i mitten då blir meningen fel. Men det var inte detaljerna jag åsyftade, hur som helst.