Cantor och de reella talen.

Du verkar snarar ägna dig åt semantiska äventyr än ett ifrågasättande av sakfrågan. Om du försöker anamma the principle of charity, och för diskussionen inom samma ramverk som dina motebattörer, har du då fortfarande svårt att acceptera beviset?

Jag kan ifrågasätta vilket bevis som helst genom att omdefiniera de använda begreppen, men till vilken nytta? Ibland rimmar en tolkning av ett begrepp i ett sammanhang väldigt dåligt med min vardagsuppfattning av samma begrepp, men det betyder inte att någon av tolkningarna måste förkastas, utan bara att jag kan ha olika tolkningar av, och förståelsen för, ett givet begrepp beroende på vilket sammanhang nämnda begrepp används i.

Att man kan "göra en lista" över de naturliga talen, är det samma som att säga att det finns en metod för att generera alla sådan tal, hur detta kan göras har redan beskrivits i tråden. Detsamma gäller som sagt för de rationella talen, men inte för de reella. Att rent faktiskt göra en lista är givetvis en omöjlighet, men listan är tänkbar i den meningen att det för varje givet tal finns en naturlig efterföljare.

Ett annat sätt att uttrycka de är genom att säga att varje naturligt talat är beräkningsbart, dvs det kan beräknas med ett ändligt antal algoritmer.

Jag tror att ditt problem uppstår då du vill likställa din vardagsförståelse av begreppen med det som Cantor avser när han talar om samma sak. Det blir dessvärre inte särskilt lyckat då ni rent faktiskt talar om olika saker.

[quote=sigurdV|43772684]Du menar att det inte är nån ide att lägga till talet på listan
eftersom det då finns ett nytt tal att lägga till...
Men detsamma gäller ju de naturliga talen:
hur många tal man än skrivit upp på listan
så finns det en efterföljare som inte skrivits ner på listan.

För varje decimaltal som inte finns på listan
finns ett naturligt tal som inte heller finns på listan.

Nej, kanske är det det här du har missförstått. Det finns ingen bijektion från de naturliga talen till de reella talen, och alltså är det så att även på din lista så fattas det fler reella tal än det fattas naturliga. Det är precis det här Cantor visar; att de naturliga talen är uppräkningsbara, medan de reella inte är det.

En "lista" är i detta fall inte ett "förbannat långt papper" med en massa tal på. Det är ett abstrakt begrepp, och som jag redan har sagt förr så kan vi tänka oss en följd istället.

Och jo, dessa listor/följder kan vara oändligt långa. Nej. Skillnaden är att en lista är en ordnad mängd. På sätt och vis ja. Det här har inte ett jävla dyft med rättvisa att göra, och jag börjar här misstänka att du antingen är oerhört okunnig eller ett väldigt skickligt troll. Jag har extremt svårt att tro att någon som studerat teoretisk filosofi någonsin skulle dra till med ett rättviseargument i en matematisk diskussion.
De gamla grekerna gillade inte dessa tal. De ville bara ha rationella tal. Men detta hör inte till tråden. Jag behöver inte veta vilka de är innan. Oavsett vilken uppräkneligt oändligt lång lista med reella tal du ger mig kan jag konstruera ett tal som inte finns i listan med Cantors metod.
Här slutade jag läsa. Som jag påpekade har detta inte med rättvisa att göra.

Inga tal "framkallas". Alla tal finns samtidigt och direkt. Även med Peanos axiom, där det ser ut som vi skapar nya tal, handlar det om att vi har en mängd där alla naturliga tal finns samtidigt. Axiomen säger bara något om hur elementen i mängden (talen) förhåller sig till varandra.

Jaha då skriver du om samma sak
med din tolkning jämsides med min
så vi kan jämföra...eller?

Jag tror inte jag har några egna vardagsinnebörder
jag översätter nog bara mina ordlösa tankar
till de ord ni använder till vardags
och hoppas jag fått till det rätt... hur gör du?

Citat:
Du säger att det inte spelar nån roll hur DU konstruerar DIN lista,
men JAG får bara göra MIN lista på DITT sätt? Är det rättvist? Rimligt?
Citat:
Det här har inte ett jävla dyft med rättvisa att göra, och jag börjar här misstänka att du antingen är oerhört okunnig eller ett väldigt skickligt troll. Jag har extremt svårt att tro att någon som studerat teoretisk filosofi någonsin skulle dra till med ett rättviseargument i en matematisk diskussion.

(A) I en debatt kan det förekomma orättvisor...exempelvis om bara den ene talaren får yttra sig! Eller om den ene fullständigt bestämmer reglerna för samtalet.
Och jag tycker du försöker bestämma och begränsa mina argument
och argumentationsmöjligheter utan att du tillåter mig att ha motsvarande möjligheter.

(B) Vi sysslar med att försöka förstå Cantors Bevis... och detta utan att ha tillgång till hans bevis, vilket innebär att vi måste försöka rekonstruera det i någon mån. Du har sagt att jag ska fundera på de reella talen...det menade du kanske inte? Du menade att jag ska kopiera vad som står att läsa i wikipedia eller nåt liknande ställe? Ok jag går igenom de naturliga talen ordentligt innan jag går tillbaka till de reella!

(C) Varför accepterar du bara en ordning av de naturliga talen? OM du lyckas utföra en bijektion mellan de naturliga och de decimala talen så måste väl bijektionen kvarstå om vilka som helst två naturliga tal byter plats... på din TÄNKTA lista? Varför sa du inte att du jobbade med TÄNKTA listor? Jag föreslog att vi skulle lämna verkliga listor men det ville du ju inte!
Sen byter du till tänkta listor utan att fråga om jag går med på det... Tycker du det där var just gjort? Är det så att det är därför du inte vill blanda in rättvisa i diskussionen?

(D) Nej jag är inte ett troll, är du?
Ska vi sluta diskutera tycker du?

Det är ju du som försöker begränsa saker och ting, eller snarare tvinga fram en utvidgning. Om du upplever en orättvisa så beror det förmodligen på en oklarhet i exakt vad som faktiskt ska diskuteras.
Jag har gjort min tolkning av Cantors bevis. Jag har inga skäl att anta att han hade en annan ordning på de naturliga talen än den jag har nämnt, eftersom detta är fullt tillräckligt för att visa att #(N)<#(R).

För att den är tillräcklig för beviset. Om beviset håller även om man använder en av dig specialkonstruerad lista är jag inte intresserad av.
Förmodligen, men det orkar jag inte fundera på. För att vi har en matematisk diskussion om olika stora oändligheter...
Det har jag inte sagt. Visa var i så fall. Det gjorde jag inte. Du har feltolkat saker och ting. Jag börjar luta åt det. Jag ger det hela en chans till. Om du inte klart kan redogöra för varför du vill använda en annan lista drar jag mig ur.

Det jag tror som menas är att eftersom det inte spelar någon roll hur man gör listan - när man konstruerar den i beviset - så är det en godtycklig lista. Alltså, eftersom beviset utgår från en lista utan några ytterligare egenskaper är beviset oberoende av listans egenskaper. Du kanske menar att beviset faktiskt gör en lista vars egenskaper är avgörande för beviset?

Öppen fråga för tråden:
Jag har aldrig haft något emot att de reella talen är överuppräkneliga, men en sak som jag inte tänkt på förut: om det inte finns något uppräkneligt som kan innehålla alla reella tal; var "finns" dom? Annorlunda uttryckt; när vi gör en konstruktion av de reella talen så går vi oftast från vår uppräkneliga talmängd Q, gör ett uppräkneligt antal argument av uppräknelig karaktär (antar jag?) och från dessa uppräkneliga mängder av tal och argument dyker något överuppräkneligt upp? Är inte då dessa uppräkneliga mängder av tal och argument en uppräknelig beskrivning av de reella talen?

Det något mindfuckande svaret på denna fråga, som faktiskt också belyser hur många reella tal det finns, är just att det finns reella tal vi inte kan uttrycka på något sätt, och det finns faktiskt många fler sådana än de reella tal vi faktiskt kan uttrycka.

Men du har helt rätt i ditt tänk. Det finns ett uppräkneligt oändligt antal sätt att uttrycka ett tal.

Jo det är dem. Det säger ju dock ingenting om hur många de är. T.ex. kan jag med ett ändligt antal ord beskriva de oändligt många naturliga talen.

För övrigt så påminner den här tråden väldigt mycket om 0.99.. = 1. Den belyser precis samma problem; ett lättformulerat matematiskt argument som lätt misstolkas av de som inte riktigt har koll på vad orden betyder i sammanhanget. Cantors diagonaliseringsargument är ett mycket tydligt och precist argument, men om man inte riktigt har koll på vad det innebär för en mängd att vara uppräknelig, eller inte riktigt har koll på sin logik, så blir det lätt rörigt.

Det jag menar är att vi har en uppräknelig konstruktion som "leder" till alla reella tal. Även de som inte är uttryckbara är väl då beskrivna på nåt vänster? Eller "ryms" i den uppräkneliga konstruktionen. Återigen, något som tyder på en mappning mellan något uppräkneligt och något överuppräkneligt?

edit: med knyttnytts svar i åtanke så kanske mitt val av ordet "mappning" här ovan är fel helt enkelt.

Inom Zermelo-Fraenkels axiomsystem så kan man konstruera en överuppräknelig mängd såhär:

(1) Man utgår från oändlighetsaxiomet, som säger (ungefär) att det existerar en mängd som är oändlig.
(2) Sedan använder man axiomet än potensmängd, som säger att det till varje mängd M finns en mängd PM innehållandes alla delmängder av M.
(3) Genom ett diagonalförfarande kan man bevisa att potensmängden till mängden i (1) måste vara överuppräknelig.

Eftersom man aldrig konstruerar de reella talen "ett tal i taget" så spelar det liksom ingen roll att konstruktionen har uppräkneligt (ja, till och med ändligt) antal steg.

Tänk också på att begreppet "överuppräknelig" bara är ett abstrakt begrepp inuti vårt logiska "universum", och egentligen bara betyder "det finns ingen surjektion från N till denna mängd". Så jag skulle kunna skapa en logisk modell där det finns två mängder, {1, 2, 3, ...} och {1} och inga andra. En surjektion skulle då också vara en mängd (i mängdläran är allt mängder), närmare bestämt mängden {(1, 1), (1, 2), ...}. Just denna mängd finns inte i min logiska modell, och alltså finns i denna logiska modell ingen surjektion från N till {1}, och alltså är {1} överuppräknelig i just denna logiska modell.

Nu är denna logiska modell väldigt simplistisk, och uppfyller nästan inga av Zermelos och Fraenkels axiom. Men faktum är att det går att finna modeller som uppfyller axiomen, men som i en utomstående bemärkelse är uppräkneliga. Det är ganska förvirrande, och jag tror inte jag förklarar så bra, men läs på på Skolem's paradox.