Citat:
Ursprungligen postat av Urax88
Ex 1
Bestäm de punkter på elipsen x²+xy+y²=1 som ligger närmast respektive längst bort från cirkeln x²+y²=4. Bestäm också det minsta och det största avståndet samt de cirklar som har medelpunkt i origo och tangerar elipsen.
Tag en punkt P1 = (x1, y1) på ellipsen och en punkt P2 = (x2, y2) på cirkeln. Vi har då x1² + x1 y1 + y1² = 1 och x2² + y2² = 4.
Ställ sedan upp ett uttryck för (kvadraten av) avståndet mellan P1 och P2:
d(x1, y1; x2, y2) = (x2 - x1)² + (y2 - y1)².
Detta uttryck skall vi minimera och maximera under villkoren x1² + x1 y1 + y1² = 1 och x2² + y2² = 4.
Vi kan då använda Lagrangemultiplikatorer och bilda uttrycket
f(x1, y1; x2, y2) = ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) + λ (x1² + x1 y1 + y1² - 1) + μ (x2² + y2² - 4).
Nu skall de partiella derivatorna med avseende på x1, y1, x2, y2, λ och μ sättas lika med 0:
∂f/∂x1 = -2(x2 - x1) + λ (2 x1 + y1) = 0
∂f/∂y1 = -2(y2 - y1) + λ (x1 + 2 y1) = 0
∂f/∂x2 = 2(x2 - x1) + μ (2 x2) = 0
∂f/∂y2 = 2(y2 - y1) + μ (2 y2) = 0
∂f/∂λ = x1² + x1 y1 + y1² - 1 = 0
∂f/∂μ = x2² + y2² - 4 = 0
Lös ekvationssystemet.
Ett annat sätt är att sätta x = ξ + η, y = ξ - η, vilket gör att ellipsen får ekvationen 1 = (ξ + η)² + (ξ + η)(ξ - η) + (ξ - η)² = 3 ξ² + η² och cirkeln får ekvationen 4 = (ξ + η)² + (ξ - η)² = 2 ξ² + 2 η². Ellipsen har då sina axlar i ξ- och η-riktningarna, och vi kan förvänta oss att max- och min-avstånden är samma riktningar. Min-avståndet finner vi bl.a. mellan punkten (ξ, η) = (0, 1/√3) på ellipsen och (ξ, η) = (√2, √2) på cirkeln. Omvandla dessa punkter tillbaka till (x, y)-koordinater och beräkna avståndet mellan dem. Gör likadant för max-avståndet.
Citat:
Ursprungligen postat av Urax88
Ex 2
Bestäm de punkter på elipsen x²+xy+2y²=7 som ligger närmast respektive längst bort från linjen x=3. Bestäm också det minsta och största avståndet.
Vi kan kvadratkomplettera ellipsens ekvation till (x + y/2)² + 7y²/4 = 7, ur vilket vi kan lösa ut x = -y/2 ± √(7 - 7y²/4)
Vi kan kvadratkomplettera ellipsens ekvation till 7x²/8 + 2(y + x/4)² = 7, ur vilket vi kan lösa ut y = -x/4 ± √((7 - 7x²/8)/2). Lösning finns endast om 7 - 7x²/8 ≥ 0, dvs om x ≤ √8. Ellipsen begränsas alltså av x = ±√8. Bestäm avstånden mellan x = 3 och x = ±√8.
