Oändlighetsfråga (jämna och ojämna nummer)

Fick häromdagen höra av en vän att det finns lika många jämna nummer som det finns jämna och ojämna nummer tillsammans. Jag antar att det här är ganska grundläggande, så jag tänkte fråga här ifall det stämmer, försök gärna förklara hur det hänger ihop.

nej
det finns ett oändligt antal jämna nummer, och ett oändligt antal ojämna - alltså har vi två oändligheter här.. Ett oändligt antal jämna nummer + Ett oändligt antal ojämna är helt klart större än bara ett oändligt antal jämna nummer?

tänker jag fel nu?

om det finns lika många jämna nummer som ojämna så skulle det sista numret vara ett ojämt, eller hur? Och det stämmer ju inte eftersom det finns oändligt med nummer, så konstaterandet är fel.

0,1,2,3,4,5 -3jämna -3ojämna

0,1,....,222,223 -mångaJämna -mångaOjämna

Ja, du tänker fel.

De båda mängderna är lika stora. Kan du visa genom en bijektion mellan mängderna.

noll är väl varken eller?

0 är jämnt (har 0 i rest vid division med 2)

Hur räknar vi saker? När vi är barn räknar vi exempelvis på fingrarna och säger samtidigt en ramsa, "1, 2, 3, ...". Det vi gör är alltså att para ihop det första fingret med "1", det andra fingret med "2", osv. På samma sätt gör vi när vi räknar andra saker, även om vi kanske inte tänker på det. Man kan alltså säga att något är 5 till antalet när det kan paras ihop ett-och-ett med följande mängd {1, 2, 3, 4, 5}.

Detta leder till ett sätt att jämföra storlekar på mängder som fungerar även för oändliga mängder: om vi kan para ihop dem ett-och-ett så är de lika många. En sådan ihopparning kallas, som phunque sade, för en bijektion.

Mängden av udda positiva tal och mängden av positiva tal kan paras ihop enligt

1-1
2-3
3-5
4-7
...

Talparen är på formen (k, 2k-1). Alltså är de lika många.

Bonusfakta 1: De reella talen, alltså decimaltalen, är däremot fler än de positiva heltalen och det är enkelt att visa att man inte kan para ihop dem.

Bonusfakta 2: För decimaltalen gäller exempelvis att det finns lika många tal mellan 0 och 1 som det finns decimaltal totalt.

Bonusfakta 3: De rationella talen (bråktalen) är lika många som de positiva heltalen.

Hur hänger det ihop? Alla positiva heltal, är ju rationella.

Vad menas med att två mängder innehåller lika många element? I matematiken har man valt att definiera det som att det finns en bijektion mellan mängderna, dvs om man kan para ihop varje element i ena mängden med exakt ett element i den andra mängden så att inget element i någon mängd blir över.

Ett exempel: det har kommit lika många killar som tjejer till en danstillställning om och endast om man kan para ihop varje kille med en tjej utan att någon blir över av något kön.

Vi kan se att de jämna och udda (som många kallar "ojämna") talen är lika många genom att para ihop dem så här (jämnt till vänster, udda till höger): 0↔1, 2↔3, 4↔5, 6↔7, 8↔9, ... Alla jämna och udda tal kommer med i den här ihopparningen.

Vi kan se att de jämna talen är lika många som alla tal genom att para ihop dem så här (jämnt till vänster, "alla" till höger): 0↔0, 2↔1, 4↔2, 6↔3, 8↔4, ...

Bilden nedan förklarar hur du kan "stega" dig igenom alla rationella tal. När du stöter på ett nytt rationell tal du inte stött på tidigare parar du ihop det med det högsta positiva heltalet du inte använt tidigare.

http://i41.tinypic.com/2q36kc3.jpg

Det blir alltså

1 - 0
2 - 1
3 - -1
4 - -2
5 - -1/2
6 - 1/2
7 - 2

osv

Jo, fast när man talar om oändliga mängder så kan en delmängd av en mängd vara lika stor som mängden den är en delmängd av. Det kan vara lite förvirrande i början innan man förstått hur det här med kardinalitet funkar. För ett bevis av varför de rationella talen är lika många som de positiva heltalen se: http://www.cs.lth.se/home/Rolf_Karlsson/dm/f5.pdf