Fouriertransformen?

Kan någon förklara vad Fouriertransformen används till, hur den fungerar osv?
Exempel är tacksamma.

En Fouriertransform (FT) är en matematisk operation som används inom Fourier-analysen. Fourier-analysen innebär att dela upp en funktion i "mindre" delar, och verktygen som används för att göra detta är just FT. Det finns alltså olika varianter av FT beroende på funktionen som ska analyseras (delas upp). FT har många olika tillämpningar, men är (kanske?) mest använt inom DSP (Digital Signal Processing).

För att förklara vad en transform är: En transform kan sägas översätta från ett koordinatsystem till ett annat. Man kan se det som att man har en serie basvektorer(av en viss dimension) och när man transformerar så projicerar man en serie vektorer(funktionen som ska transformeras) på basvektorerna. Resultatet blir alltså en serie projektioner, eller rent matematiskt, skalärprodukter. Den ursprungliga funktionen är alltså lika med vektorsumman av alla dessa skalärprodukter.

Kort sagt används fouriertransform för att studera en funktion med avseende på frekvens istället för tid.

Ta musik som exempel. Antag att du har ett visst "ljud" som du vill återskapa genom att ett membran ska svänga på ett visst sätt (en högtalare). Ljudet kan då beskrivas av hur membranets amplitud varierar med tiden och du har alltså en funktion av tiden f(t). Man kan nu visa att denna funktion kan approximeras av (till godtycklig hög noggranhet) en summa av andra funktioner. Exempelvis kan vi som basfunktioner välja trevliga sinus- och cosinus-funktioner eftersom dessa inom musiken motsvarar en ren ton med en given frekvens. Fouriertransformen F(ω) ger ett mått på hur mycket av varje frekvens vi ska inkludera i summan för att återskapa ljudet.

Med andra ord kan ljudet endera beskrivas av funktionen f(t) som säger hur membranet ska variera med tiden eller med funktionen F(ω) som ungefär säger hur mycket av varje vibrationsfrekvens som ingår i ljudet. Det kan vara praktiskt att använda F(ω) för att beskriva ljudet eftersom det ger information om hur man kan approximera ljudet på ett bra sätt. Exempelvis kanske man finner att man kan kasta bort höga frekvenser som örat ändå inte kan höra.

Typiskt är att du går från en koordinat, tid, till en invers kordinat, frekvens.

Ett område jag själv är bekant med är elektronernas beteende i metaller. Elektronernas tillstånd kan beskrivas av en funktion f(x) som beskriver var de befinner sig i ett material. Det är dock inte särskilt intressant för det mesta och man fouriertransformerar därför elektronernas funktion och tittar på komponenterna F(k), där k är den inversa koordinaten (har enheten 1/längd) och kallas vågtal. Vågtalet är intressant bl a eftersom ett visst k motsvarar en viss uppsättning möjliga energier för elektronen. För koordinaten x finns inga sådana enkla samband. Vill man exempelvis titta på elektronerna med lägst energi så tittar man på de med lägst k.

För att se vilka frekvenser en signal är uppbyggd av. Som kan vara väldigt andvändnart när man ska analysera en signal.

Ifall man ska skicka en signal över en nätverkskabel så kan källan en signal av massa frekvenser och sedan kan mottagarsidan Fouriertransformera signalen den tar emot och få ut informationen den innehåller.
Används för telefoner och datanät t.ex.