Citat:
Ursprungligen postat av JOggen
Tjena, blir inte klok på en uppgift jag har i skolan, någon duktig som vet hur man använder satsen till detta problem?
Betrakta funktionen g(z) = z^5-e^z*sin(z)-i*6*z-6*z
Jag skalll nu med papper och penna samt Rouchés sats visa att g(z) har 5 nollställen i en cirkelskiva med |z| < 3.
Någon som har en ide?
Förenklat kan man säga att Rouchés sats innebär att du har två funktioner f och g som båda är analytiska innanför kurvan du tittar på. Om |f+g|<|g| för ett givet |z| så har f och g lika många nollställen innanför |z|.
g(z) = z^5-e^z*sin(z)-i*6*z-6*z
Principen för denna typ av lösning med Rouchés sats är att välja f(z) så att f(z) består av polynomdelen, i g(z), med det största värdet för ett givet |z| men med ett negativt tecken.
Dvs i din uppgift är väljs f(z)=-z^5 då detta ger det största värdet för |f(3)|. (Tänk på att Rouchés sats här inte räknar med ett eventuellt nollställe på |z|=3, utan endast innanför, |z|<3).
Använd nu |f+g|<|g|
=> |-z^5+z^5-e^z*sin(z)-i*6*z-6*z|=|-e^z*sin(z)-6iz-6z|<
<|z^5-e^z*sin(z)-6iz-6z|
Sätt in |z|=3 för att se om olikheten stämmer. Om den gör det innebär det, enligt satsen, att g(z) har lika många nollställen som f(z). f(z)=-z^5 vilket innebär att f(z) har 5 nollställen.
Hoppas du är nöjd med svaret!