Maximal volym på kub respektive cylinder!?

Har 2 uppgifter jag inte kommer någonstans med...

Kort och gott så är det:

1. Vilken är den största volymen cylindern kan ha om: d(iameter) + h = 20
V = r^2*pi*h
Men hur f*n ska man bära sig åt för att få maximal volym!?

2. Samma, men med en låda, där b + h + d(jup) = 15.
Ok, där ser man att det är 5 på varje, då en kub alltid innehåller mest.
Men hur får man fram det på ett mer "vetenskapligt" sätt?

Skapa en funktion, derivera och hitta maximipunkt.

Det är just det som jag inte riktigt fattar hur man ska göra...

Inte för cylindern iallafall. För lådan borde det bli:
x*x*x = x^3
x^3 = 125
Deriverat: 3x^2

Eller!? Hur använder man derivatan för att hitta max-punkten sen?
Och hur gör man med cylindern?

1. 2r + h = 20 => h = 20 - 2r
V = r^2π(20 - 2r) = 20πr^2 - 2πr^3
V' = 40πr - 6πr^2
V' = 0 => 40πr - 6πr^2 = 0
r(20 - 3r) = 0
r1 = 0 (ej giltigt)
20 - 3r = 0
r2 = 20/3

Sedan beräkna volym

2. Kan inte svara på det eftersom volymen beror av tre variabler.

Nu hängde jag inte riktigt med där...
Ok, vi sätter H till 20, och vi drar bort 2r för att få något kvar att ha som r.
Sen blir det "V = r^2π(20 - 2r)" = "20πr^2" ok, men "r^2 * r^2" borde väl bli r^4?

Och därmed så blir V' = 40πr - 8πr^3?

Tror jag börjar fatta iallafall...

Saken e att du har två okända, radien och höjden. För att lösa ut dessa två okända måste du ha två ekvationer.

Vi kallar diametern för d och radien för r

En ekvation är redan given

d + h = 20 => 2r + h = 20 => h = 20 - 2r

En annan ekvation vi kan ställa upp är volymen. Volymen för en cylinder är basarean*höjden

V = π*(r^2)*h

Nu har vi ett uttryck för h redan...denna sätter vi in i uttrycket för V

V = π*(r^2)*(20 - 2r)

multiplicera in, derivera, sätt=0 och lös ut r...när du har löst ut r kan du stoppa in den i den första ekvationen för att få ut vad h är...

Andra uppgiften känns det som att det är för lite information om faktiskt...bara för att "man vet" att en kub har störst volym betyder det inte att det är så...man måste utgå ifrån att en låda har 3 olika sidor. Sen om det visar sig vara en kub - fine...men man måste ändå utgå ifrån att det är en låda och inte en kub.

Så som det ser ut just nu så har du endast -> a + b + c = 15

Om du kallar lådans sidor a, b och c så har du a+b+c=15, som sagt. Vidare kan du postulera att a>=b>=c, eftersom en låda alltid kan roteras utan att man ser skillnad på sidorna.

För varje låda som inte är en kub kan du dra en liten sträcka x från en lång sida och addera x till en kortare sida. Det inses lätt att volymen då ökar.

Alternativt, om du utgår från en kub och lägger x till a och drar bort x från c, så minskar volymen med bx^2.

Ok, 1 här nu...

Funderar på "V = r^2π(20 - r^2)"...
Är bara osäker på om jag räknar rätt här eller inte...

r^2 * π * 20 = 20 * π * r^2
r^2 * π * r^2 = π * r^4

Alltså "V = 20πr^2 - πr^4" ?

"V' = 2 * 20πr^1 - 4 * r^3" = "V' 40πr - 4r^3" ?