Primitiv funktion

Jag ska hitta den primitiva funktionen till cotx/(1 + (sinx)^2). Antar att man ska använda t = tan(x/2)-substitutionen, men jag får inte fram rätt svar.

Testa t = sin(x), så får du bort cos(x)-delen i cot(x)

t = sin(x), dt/dx = cos(x) ---> dx = dt/cos(x)


int{1/(t*(1 + t^2))} dt

Det luktar logaritmer, jag lyckades chansa på ln|t^2/(1 + t^2)|, vilket om du deriverar det ger

((1 + t^2)/t^2)*((2t*(1 + t^2) - t^2*(2t))/(1+ t^2)^2)

= (2t + 2t^3 - 2t^3)/(t^2 * (1 + t^2)) = 2/(t*(1 + t^2)

d.v.s, med en extra faktor 1/2

primitiv = (1/2)*ln|(t^2)/(1 + t^2)|