Är "det oändligt stora talet" imaginärt?

Han syftar troligtvis på kardinaltal. De är inte riktigt oändligheter, istället används de som en typ av mått för hur stor en mängd.

Om man kan hitta ett sätt att para ihop varje element i en mängd med ett element i en annan mängd så att varje element har exakt en partner, så säger man att mängderna har samma kardinalitet. T.ex har heltalen och de rationella talen samma kardinalitet, men de reella talen har en högre kardinalitet. Det skulle man kunna tolka som att det finns lika många heltal som rationella tal men fler reella tal, men detta är bara något matematiker hittat på .

Skillnaden mellan olika oändligheter uppstår när vi jämför storleken av olika oändliga mängder, och typexemplet är det mellan de naturliga och reella talen.

Det finns oändligt många naturliga tal (dvs. 1,2,3....), men mellan varje par av naturliga tal hittar vi oändligt många reella tal, och man kan matematiskt visa att det finns fler reella än naturliga tal.

Ett annat exempel som kan kännas lite underligt är att det faktiskt finns lika många naturliga som rationella tal (tal på formen p/q, dvs. 1/2, 5/8 osv.)

Varför har Z och Q samma kardinalitet?

Jag tror faktiskt att bijektioner är människans naturliga sätt att jämföra storleken på mängder så "påhittet" överrensstämmer med våra intuitiva uppfattning om vad "lika många betyder". När vi räknar något så tittar vi på objekten och mässar (tyst) "1, 2, 3, ..." vilket är ett sätt att upprätta en bijektion mellan objekten och ex. listan (1,2,3...,15) om vi har 15 objekt.

Sant, jag hann inte riktigt få till inlägget som jag ville. Men just tolkningen att heltalen är lika många som de rationella talen är definitivt inte absolut sanning, bara ett (väldigt naturligt) sätt att se på saken.

För att det finns en bijektion mellan de (definitionen av "samma kardinalitet").

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=927

Det finns inga absoluta sanningar i matematik. De teorem du kan bevisa och de sanningar du får fram beror på vilka axiom du väljer. Tex så är Urvalsaxiomet, som faktiskt gör att vi kan definiera kardinalitet för goodtyckliga mängder, ganska kontroversiellt när det infördes. Dels för att det inte är särskilt intiutivt, men också för att det ställer till en del bekymmer.

http://sv.wikipedia.org/wiki/Urvalsaxiomet

Ditt exempel är jättebra, men hur kan det finnas lika många naturliga som rationella tal? Mellan varje naturligt tal och dess efterföljare finns ett oändligt antal rationella tal, då vill jag ha det till att, analogt med ditt exempel ovan om R och Z, så finns det oändligt många fler tal i Q än i Z?

(Z: Mängden av alla naturliga tal
R: Mängden av alla reella tal
Q: Mängden av alla rationella tal)

Mängden Z (och N) kan beskrivas med samma kardinaltal som mängden Q. För en enkel förklaring hur det går till, se artikeln om Hilberts Hotell.

http://sv.wikipedia.org/wiki/Hilberts_hotell

Mängden av reella tal R - däremot - har en större mäktighet än mängden Q.

[Q : Varför har påven så tråkigt? A : Han måste lyssna till mängder av oändliga kardinaltal]

Kanske så här...

De rationella talen är uppräkningsbara enligt följande:

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2 (stryks då det är samma som 1/1), 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1...

(alltså, jag går bara systematiskt igenom alla permutationer av en ökande summa på täljare & nämnare)

De naturliga talen är uppräkningsbara enligt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Om man lägger dessa serier bredvid varandra så finns det alltså ett rationellt tal för varje naturligt tal.


Vår mattelärare på högskolan bevisade att det finns lika många reella tal mellan 0-1 som mellan -∞ - +∞ på följande sätt:

Tänk dig att du sträcker ut -∞ - +∞ som en oändligt lång linje. En liten bit ovanför denna linje spänner du sen ut sträckan 0-1 som en halvcirkel (den nedre halvan av cirkeln). då kan man dra radien från den tänka cirkelns mitt och förlänga densamma tills den träffar den oändligt långa linjen. För varje sådan radie man drar ut (eller egentligen väljer ett tal antingen från halvcirkeln eller från den oändliga linjen) så kommer det att finnas EXAKT ett matchande tal från den andre. Alltså måste det finnas lika många tal i de här två mängderna (oändligt många givetvis).

Det känns intuitivt att en mängd som är en (strikt) delmängd till en annan mängd också är (strikt) mindre. Problemet uppstår när man vill jämföra två mängder som inte har några gemensamma element. Det enklaste sättet är nog därför att para ihop elementen, vilket dock ger vissa anti-intuitiva resultat som det ovanstående. Därför är det bättre att bara tänka på "oändliga kardinaltal" som ett mått på hur stor en oändlighet är.

Jag fattar! Tack och bock, mycket fina förklaringar.