Varför så många "Gissa..."-trådar i andra delar än Laidback?

Typiskt GaussBonnet att beskriva den vackra ekvationen med matematikernas tvångsparanoida synsätt. Euler-Lagranges ekvationer ger, för Lagrangianen L = T - V och generaliserade koordinater q, rörelseekvationerna inom klassisk mekanik.

Säg exempelvis att vi har en pendel med massa m och pendellängd l. Dess potentiella energi kan skrivas V = mg(l - lcos θ) och dess kinetiska energi T = ½m(l dθ/dt)² = ½ml²(θ')². Lagrangianen blir L = ½ml²(θ')² - mg(l - lcos θ).

Partialderivera m a p θ':

∂L / ∂θ' = ml²θ'

Totalderivera samma term m a p tid

(d / dt)(∂L / ∂θ') = ml²θ''.

Partialderivera m a p θ

∂L / ∂θ = -mglsin θ.

Rörelseekvationen för pendeln blir alltså

ml²θ'' + mglsin θ = 0 eller θ'' + (g / l)sin θ = 0.

Om svängningarna är små så är sin θ ≈ θ och vi får

θ'' + (g / l)θ = 0

vilket kan lösas analytiskt:

θ(t) = Asin ωt + Bcos ωt,

där den naturliga frekvensen för pendeln är ω = √(g / l). Konstanterna A och B avgörs genom randvillkor. Fint va?