Citat:
Ursprungligen postat av Labbi
En klotformad behållare med radien 0.80 m är till hälften fylld med olja. Oljans densitet är 0.88 kg/dm^3. Hur stort arbete krävs minst för att pumpa ut all olja genom ett hål längst upp i behållaren?
Inför följande beteckningar:
r = 0.80 m
ρ = 0.88 kg/dm³
g = 9.82 N/kg
Antag att vi har hållit på ett tag och att oljeytan ligger på djupet h från behållarens centrum. Vid början är alltså h = 0, och när behållaren är tom är h = r.
Nu tar vi ett skikt med tjockleken dh från ytan. Denna olja är utbredd över en area A = π (r² - h²) och har således volymen dV = A dh = π (r² - h²) dh och massan dm = ρ dV = π ρ (r² - h²) dh.
Denna olja skall lyftas till hålet, en sträcka r + h. Arbetet som krävs för detta blir då dW = dm g (r + h) = π ρ g (r² - h²) (r + h) dh.
Du skall vi bara summera alla tunna skikt, så vi skapar integralen
W = ∫ dW = ∫ π ρ g (r² - h²) (r + h) dh = π ρ g ∫ (r² - h²) (r + h) dh,
där vi integrerar över 0 ≤ h ≤ r eftersom h = 0 när vi börjar och h = r när vi slutar.
Integralen får du nu beräkna själv.