Kvantfysik uppgift

Tjena!

Har lite problem. Hoppas det finns nån vänlig själ där ute som förstår sig på det här talet bättre än jag gör...

Ange de kvantmekaniska operatorerna som motsvarar de klassiska funktionerna x, p och p^2. Använd var och en av dessa operatorer på funktionerna på x^2, e^ikx och e^(-a( x) ^2). Inspektera resultaten och notera om funktionen är en egenfunktion till motsvarande operatorer. I tillämpliga fall ange egenvärdet

Operatorn för x-komponenten av positionen är helt enkelt x. Operatorn för rörelsemängd är (hbar/i)(∂/∂x) och kvadrerar vi denna fås (hbar/i)(∂/∂x)(hbar/i)(∂/∂x) = -hbar²(∂/∂x)(∂/∂x) = -hbar²(∂²/∂x²).

För positionsoperatorn har vi

xx² = x³ ⇒ x² inte en egenfunktion
xexp(ikx) ⇒ exp(ikx) inte en egenfunktion
xexp(-ax²) ⇒ exp(-ax²) inte en egenfunktion

För rörelsemängdsoperatorn har vi

(hbar/i)(∂/∂x)x = (hbar/i) ⇒ x² inte en egenfunktion
(hbar/i)(∂/∂x)exp(ikx) = hbar*k*exp(ikx) ⇒ exp(ikx) en egenfunktion med egenvärde hbar*k
(hbar/i)(∂/∂x)exp(-ax²) = (hbar/i)(-2ax)*exp(-ax²) ⇒ exp(-ax²) inte en egenfunktion

För kvadrerade rörelsemängdsoperatorn (vilken är proportionell mot kinetiska energin) har vi

-hbar²(∂²/∂x²)x = 0 ⇒ x² inte en egenfunktion
-hbar²(∂²/∂x²)exp(ikx) = hbar²k²exp(ikx) ⇒ exp(ikx) en egenfunktion med egenvärde hbar²*k²
-hbar²(∂²/∂x²)exp(-ax²) = -hbar²(∂/∂x)(-2ax*exp(-ax²)) = -hbar²(-2aexp(-ax²) + 4a²x²exp(-ax²)) ⇒ exp(-ax²) inte en egenfunktion

Jag kan ju tillägga, om du inte kommer ihåg det, att vilkoret för att en funktion f ska vara en egenfunktion till en operator Ô är att effekten av att låta Ô operera på f är att man då får funktionen f multiplicerad med en konstant, alltså

Ôf = of

och konstanten o kallas då för egenvärdet.