Vilken matris-avstånds-mätningsmetod är bäst?

Om man vill jämföra och ta ut distanserna på olika matriser så finns det ju flera olika tillvägagångssätt. Dels kan man använda sig utav Manhattan avståndet (vilket känns lättast) eller så kan man använda sig av euklidiskt avstånd.

Vilket är bäst i vilka sammanhang? T.ex. är euklidsiskt bäst för små eller stora matriser, etc?


(Lite trött, hoppas ni förstår formuleringen)

För två matriser A och B, menar du normer, e.g., ||A-B|| för att beräkna "avstånd" mellan A och B?

Har aldrig hört uttrycket Manhattan(Taxicab) avstånd/norm i vektor/matris-sammanhang. På wikipedia står det att den även kallas för L1-normen, vilket man kanske kan ful-generalisera den till att vara.

L1-normen är max_j Sum_i |a_{i,j}| medans Taxicab avstånd är avståndet |x_1-x_2|+|y_1-y_2| mellan två punkter (x_1,y_1) och (x_2,y_2) i R^2. Den som orkar gräva vidare kan ju göra det och komma med en förklaring.

Nåja, om du nu skulle mena L1-normen då du skriver "Manhattan avstånd" så är nackdelen med L1-norm att den inte är vidare trevlig att derivera (jämför med att derivera, e.g., f(x)=|x| som är icke-deriverbar i x=0).

Den "vanliga" euklidiska normen, för vektorer, är L2-normen (Pythagoras sats), dvs. sqrt(sum(x_i^2)). L2-normen för matriser är betydligt bökigare att beräkna.

Då man talar om matriser och menar euklidisk norm, då handlar det om Frobenius-normen. Detta är en väldigt bra norm! Den lider inte av icke-deriverbarhet, utan kan användas väldigt smidigt för analys. Sedan är den även enkel att beräkna. Jag tar mig friheten att säga att den ger en mer korrekt beskrivning av euklidiskt avstånd mellan två matriser än vad L2-normen gör. Observera att Frobenius-normen för en vektor är L2-normen.

Alla normer är ekvivalenta på R^n, men det beror på tillämpning vilken som är lämpligast. Om man t ex har en största tillåten avvikelse för varje enskilt matriselement är ju inte Fröbenius-normen särskilt lämplig (eller hur?)..

Jasså? Motivera gärna!

Eller, du kanske tänkte på något som |A+dA| där dA är en gles matris förutom några 0-skillda element dA_{i,j}=+/- |da_{i,j}|. Dock är det ett väldigt specialfall. Enda gången sådant dyker upp är på tentamen/uppgifter i numeriska metoder .

Tillägger: Ja, det beror mycket på tillämpningen. Men generellt så används normer, som inte lider av icke-deriverbarheter, i större utsträckning.

Mitt exempel behandlar alltså "största tillåten avvikelse för varje enskilt matriselement"..

Jag vet inte vilka antaganden du gör om vad jag läst eller vad jag jobbar med, men det är väl ändå off-topic..

Det låter intressant. Kan du presentera ett sådant exempel mer matematiskt så man får lite att jobba med. För att se vilken, eller vilka, norm(er) som är bra i det sammanhanget exempelvis.

Jag antar du doktorerat i det mesta och jobbar du med något jätteavancerat, men som sagt, det är off-topic. Bra så?

sup-normen, exempel hittar du enkelt på själv..

Det var inte det jag ville ha sagt, men alla är ju kung på nätet Jag kunde bara inte förstå varför du trodde att jag råkat räkna just din tentauppgift. Jag kanske inte ens har någon utbildning, men jag har iaf gett dig ett exempel då en icke-deriverbar norm kan vara användbar.

Jodå, nog används icke-deriverbara normer som ||A||_1 (L1) och ||A||_{oo} ("sup-norm"). Linjära optimeringsproblem brukar dyka upp med någon av dessa normer i formuleringen, har för mig graf/networkflow-problem brukar "lida" av dessa oxo.