Matte: Induktion (induktionsaxinomet)

Visa att 1x2+2x3...(n-1)n=((n^3) - n ) / 3, n=2,3....

Detta ska utföras med induktionsaxinomet...kan någon stegvis förklara hur man gör detta?

Sätt först n=2 och visa att då blir vänsterled lika med högerled. Ant sedan att det gäller för något n, och betrakta sedan summan för n+1, dvs 1x2+2x3...(n-1)n+n(n+1), och du ska då visa att denna summa är lika med ((n+1)^3-(n+1))/3.

hur är def. på axinomet.

vilkor 1. P(2) = Sant
vilkor 2. P(m) = > P(m+1) ger om n=m

V.L: 1x2+2x3...(m-1)m+m(m+1) och H.L: ((m+1)^3-(m+1))/3.


...stämmer det så långt?

....hur får du fram det? jag får = n^3 + 3n^2 + 2n

Ditt vänsterled är felaktigt skrivet. Jag förstår vad du menar, men om man ska vara petig så betyder ditt VL en helt annan sak än det jag förmodar att du menar. För att undvika missförstånd och blidka vissa petiga examinatorer på dina tentaskrivningar så bör terminologin vara korrekt. Vill man beskriva din summa utan att tillgripa summatecken så är detta standardmetoden:
1x2+2x3+...+(n-1)n

I ditt exempel blir det:
1. P(2) är sant
2. P(m) => P(m+1)
Om du kan visa att de både punkterna är uppfyllda så talar induktionsprincipen om att du kan dra slusatsen att P(n) är sann för alla naturliga tal n som är större än eller lika med 2

Det får ju Kurret också, men han/hon skriver det på ett annat sätt (notera det fetstilta):

Anledningen till att Kurret skriver på detta sätt är för att få fram den önskade formen i sista ledet, nämligen:

I det sista ledet har Kurret använt sig av kubregeln baklänges. Kubregeln vars allmänna formel lyder:
(a+b)^3 = a^3 + 3(a^2)b + 3ab^2 + b^3
Sätt a=n och b=1 så ser du att Kurrets räkningar är korrekta

Ok tackar, tror jag börjar greppa det....
Alltså i vilkor 2
V.L: 1x2+2x3...(m-1)m+m(m+1) och H.L: ((m+1)^3-(m+1))/3.
ska högerledet vara antagandet, men man utvecklar V.L. genom att lägga till m(m+1) [ efter att ha förenklat ((m+1)-1)(m+1) ] på H.L ursprungsform?

Borde man inte kunna göra tvärtom också?

Lös gärna dessa också så jag får se lite fler exempel på metoden:

Visa med induktionsbeviset och utan induktionsbeviset att: n^3-n är jämt delbart med 3 då (n=2,3....)

Visa att 5^n-1 är jämt delbart med 4 för n=1,2.....

Induktion:
givetvis sant för n=1, så anta att det är sant för något n=m, och betrakta n=m+1:
Då ska vi alltså visa att följande uttryck är delbart med 3, givet att 3 | m^3-m:
(m+1)^3-(m+1)=..
tips: utveckla kuben och förenkla.
Faktorisering:
n^3-n=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1), sista är en produkt av 3 på varandra följande heltal, varav givetvis ett är delbart med tre.
Fermats lilla:
eftersom 3 är primtal, följer påståendet direkt av fermats lilla sats.
http://mathworld.wolfram.com/FermatsLittleTheorem.html
Det är sant för n=1, så anta att det är sant för något n=m, och betrakta n=m+1:
5^(m+1)-1=5*5^m-1=...