Bevis att 1=2

Nja, trådstarten var väl inget bra exempel på det? Klart att man kan hitta paradoxer om man bryter mot reglerna?

Postar en liknande, inte särskilt svårt att se vart felet ligger, men någon kanske missar det?

Vilket är det största naturliga tal som finns?

Låt oss kalla det för x

x >= 1

Multiplicera båda leden med x

x^2 >= x

x^2 är också ett naturligt tal, och eftersom att x är det största naturliga talet så måste

x^2 = x

x = 1

1 är alltså det största naturliga talet.

Okej, hitta felet i denna då!
Lös ekvationen (x + 1)^2 - (x + 2)(x + 3) = (x + 4)(x + 5) - (x + 6)^2.

Svar:

x^2 + 2x + 1 - x^2 - 5x - 6 = x^2 + 9x + 20 - x^2 - 12x - 36

-3x - 5 = -3x - 16

5 = 16 (!!!)

Okej, hitta felet i denna då!
Lös ekvationen (x + 1)^2 - (x + 2)(x + 3) = (x + 4)(x + 5) - (x + 6)^2.

Svar:

x^2 + 2x + 1 - x^2 - 5x - 6 = x^2 + 9x + 20 - x^2 - 12x - 36

-3x - 5 = -3x - 16

5 = 16 (!!!)

Det går dock att bevisa att 0.999(...)=1

om 0.999...=n

10n=9.999...

10n-n=9

9n=9

n=1

10n-n=8.9991

n=8.99991/9=0.999

För ett tag sedan tog jag upp följande bevis i Filosofiavd., nu är jag intresserad av hur matematiker ser på saken. (Beviset är taget ur Filosofisk tidskrift Årgång 26 Nr 4):

Bevis för att 1=2

x=1
multiplicera bägge leden med x, så får vi
x^2=x
Minska bägge leden med 1, så får vi
x^2-1=x-1
tillämpa regeln a^2-b^2=(a+b)(a-b) på vänstra ledet, så får vi
(x+1)(x-1)=x-1
dividera bägge leden med (x-1), så får vi
x+1=1
eftersom x enligt det ursprungliga antagandet var lika med 1, så får vi
2=1

Varför blir det så här?

Går det att ordna upp? Om inte; vilka konsekvenser får då detta på matematiken? (Mig synes det måst vara avgörande allvarliga sådana)

Finns det många liknande fall av motsägelser inom matematiken?

ok ok, lös det här då! 5+5=2