Hjälp med att bevisa en formel

Visa att formeln gäller för n = 1,2,3...
a) 2 + 4 +...+ 2n = n(n+1)
b) 1 + 2 + 4 +...+ + 2^n = 2^(n+1)-1

Såhär försöker jag på a);
n=1 VL=2, HL=1(1+1)=2, VL=HL

n=p,
2 + 4 +...+ 2p = p(p+1)

n=p+1,
2 + 4 +...+ 2p + (2p+1) = (p+1)(p+2)
p(p+1)+(2p+1) = (p+1)(p+2)
p^2+p+2p+1 = p^2+p+2p+2

Den fetmarkerade tvåan ska väl stå utanför parentesen?

Men åh det är klart den ska, Tack så underbart mycket !!

Någon idee startare till b) då? Får VL=1 och HL=3 vilket suger.. :P

b kan såklart bevisas med induktion som du försöker med men den klassiska och snyggaste beviset är väl ändå denna:


Sätt S= 1+2+4+....2^(n-1)+2^n *
Då är 2S=2+4+8+...2^n+2^(n+1) **

tag nu **-*
och man får
2S-S=2^(n+1)-1
så S=2^(n+1)-1 eftersom alla termerna tar ut varandra förutom den förste i * och siste i **

Det är kanske sant haha, men nu var det induktionsbevis som skulle inövas. Förresten jag klarade det så tack för all hjälp!

Jag är inte så speciellt duktig på induktion, aldrig riktigt lagt tid på o lära mig men enligt det jag plockat upp borde man inte kunna göra....

b) 1 + 2 + 4 +...+ + 2^n = 2^(n+1)-1

Om n = 0

2^0 = 1 = 2^(0 + 1) - 1 = 1
Dvs den stämmer

Vi antar att ekvationen stämmer för n. alltså .
1 + 2 + 4 +...+ + 2^n = 2^(n+1)-1

Från detta härleder vi att formeln stämmer för (n + 1) i så fall stämmer den för alla n > 0

adderar alltså 2 ^ (n+1) på båda sidor
1 + 2 + 4 +...+ + 2^n + 2^(n+1) = 2^(n+1)-1 + 2^(n+1)

Om 2^(n+1)-1 + 2^(n+1) kan skrivas om till samma form som 2^(n+1) - 1 där (n+1) tar platsen för n så kommer formeln stämma för alla n > 0

2^(n+1)-1 + 2^(n+1) = 2 * 2^(n+1) * - 1

2 * 2^(n+1) ger 2^(n+2)
2 * 2^(n+1) - 1 = 2^((n + 1) + 1) - 1

nu står formeln som ovan, dvs där n+1 är nya n.

Notera att jag kanske (läs förmodligen) inte vet vad jag snackar om ;D. Har aldrig lärt mig detta i skolan utan bara plockat upp någonstans, och säkert fått något om bakfoten. Så om någon ser nått fel, rätta så kan jag också få lära mig.

Edit:

Tur att jag är uppmärksam iaf ;D