Styckvis kontinuerlig ger ändligt antal diskontinuiteter ?

Låt x0 vara ett irrationellt tal. Vi skall visa att f är kontinuerlig i x0, dvs att givet ε > 0 finns ett δ > 0 så att f(x) = |f(x) - f(x0)| < ε då |x - x0| < δ.

Tag ε > 0. Tag sedan ett naturligt tal q så att 1/q < ε. Sätt δ = min { |x0 - r| : r rationellt med nämnare högst q } > 0. Om x är ett rationellt tal sådant att |x - x0| < δ, så har x nämnare större än q, varför f(x) < 1/q < ε. Om x är irrationellt gäller direkt att f(x) = 0 < ε.

Exempel:
Låt x0 = √2 ≈ 1.414. Om ε = 0.3 kan vi ta q = 4 eftersom 1/q = .25 < 0.3 = ε. De närmaste rationella talen med nämnare högst q är:
* nämnare 1: 1, 2
* nämnare 2: 1, 3/2 = 1.5
* nämnare 3: 4/3 = 1.33, 5/3 = 1.67
* nämnare 4: 5/4 = 1.25, 6/4 = 1.5
Av dessa ligger 4/3 allra närmast x0 och vi tar δ = |x0 - 4/3| = 0.08088.
För alla tal x (rationella såväl som irrationella) med |x - x0| < δ gäller nu f(x) < 1/q < ε; om x är rationella är nämnaren q' > q, vilket gör f(x) = 1/q' < 1/q, och om x är irrationellt är f(x) = 0.

Tack manne! Den ska jag rama in.

Men först ska jag smälta det (tar ju lite tid för kunskapen att diffundera in).

In mathematics you don't understand things. You just get used to them.

Neumann

Jag älskar matematik, jag förstår mig bara inte på det. Jävla hjärna.

Skall jag åka upp och signera den?

Graf av f för rationella x = p/q med q ≤ 100:
http://www.imghack.org/thumbs/1166Nästan kontinuerlig funktion.png

Just det ja. I linje med ditt bevis ovan så borde väl funktionen

f(x)=x om x rationell och f(x)=0 om x irrationell,

vara kontinuerlig i x=0 men diskontinuerlig annars ?

Det håller jag med om.

Var ett tag sen man gjorde epsilon-delta, men blir inte beviset väldigt trivialt ?

Typ tag ett rationellt tal a/b så 0 < a/b < epsilon, då gäller för delta=a/b att |f(x)|<epsilon för alla |x|<delta (x0=0 och f(x0)=0).

Edit/tillägg:

Hur visar man deriverbarhet (icke-deriverbarhet) för dessa myskofunktioner ?

Kör man lim |f(x+h)-f(x)-df| / h = 0 tjosan var för sig "för irrationella x+h och rationella x+h" och om då df är densamma så är funktionen deriverbar ?

Jo, det är i princip lika enkelt som att visa att g(x) = x och h(x) = 0 är kontinuerliga i x = 0 (g motsvarar rationella x, h motsvarar irrationella x).


Deriverbarhet i en punkt implicerar kontinuitet i samma punkt. Därför kan funktionerna endast vara deriverbara i de punkter där de är kontinuerliga.

Funktionen f(x) = 0 för irrationella x, f(x) = 1 för rationella x, är alltså ej deriverbar någonstans.

Funktionen f(x) = 0 för irrationella x, f(x) = x för rationella x, kan endast vara deriverbar i x = 0. Men funktionerna g och h (definierade ovan) har olika derivator (1 resp. 0), vilket medför att f inte kan vara deriverbar där.

Funktionen f(x) = 0 för irrationella x, f(p/q) = 1/q för rationella argument (sgd(p,q) = 1, q > 0), skulle kunna vara deriverbar i irrationella punkter. Jag känner mig faktiskt osäker på vad svaret är; behöver fundera mer.

Ok, det var min tanke oxo. Så hade vi tagit ex f(x)=x^2 för rationella x istället, då hade den varit deriverbar med f'(x)=0 (i x=0 då såklart).



Ja intuitivt känns som att den är deriverbar.. q -> oändligheten i en infinitesimal omgivning av ett irrationellt tal. Ett irrationellt tal kan ju ses som en kvot mellan 2 st oändliga tal. Dvs. om vi approximerar ett irrationellt tal med ett rationellt så kommer vi få att q-> oändligheten om vi ökar noggranheten i approximationen allt eftersom.

Men vänta tills jag köpt det därade huset i Norrland!

Då ska jag bjuda upp dig för att signera härledningen. Sedan fyllnar vi till på nåt jävla lådvin , och deriverar några riktigt mastiga funktioner.

Därefter kryddar vi tillställningen med att smälla av ett par riktigt feta klumpar natrium i den lokala sjön klockan halv tre på morronen!

Kan se tidningsrubrikerna i lokalblaskan:

Mystiska explosioner nattetid i enslig tjärn.
Ryktas om flygande tefat.