Styckvis kontinuerlig ger ändligt antal diskontinuiteter ?

Då jag sitter på muggen brukar jag alltid bläddra lite i gamla kursböcker (eller lösa korsord). Nåja, nog med "skitsnack" hihi.. Spanade lite i en diff.ekv. bok och fann:

"The function f(t) is picewise continuous. This means that f(t) has at most a finite number of discontinuities on any interval ..."

Från http://mathworld.wolfram.com/PiecewiseContinuous.html


Rakt på sak, som "motexempel" (ganska klassisk approach, inget märkvärdigt): Betrakta intervallet (0,1] med punkterna x0=1, x1=1/2, x2=1/4,... osv. Dvs. x_{k+1}=x_k/2 eller analogt x_{k+1}=x_0/2^k.

Nu definierar vi en funktion f(x) som är f(x)=1 för x\in (x_{n+1), x_n] om n är jämnt tal och f(x)=-1 om n är udda.

Detta kommer leda till oändligt många styckvis kontinuerliga funktioner på (0,1].

Så, min undran är då att: Är det en ren definition att det endast får existera ett ändligt antal styckvisa funktioner på ett intervall för att funktionen skall vara piecewise continuous ? Om JA (vilket verkar vara fallet ex. Mathworld definitionen); vad kallas det om det finns oändligt styckvisa funktioner på ett intervall (som ovan) ?

EDIT: Hmm är det ett krav att intervallet skall vara slutet och begränsat oxo kanske ?

Man har väl definerat styckvis kontinuerlig så att funktionen ska vara integrerbar. Om man har oändligt antal diskontinuiteter kan man väl konstruera funktioner som inte är integrerbara

Hmm, menar du då Riemann-integrabel endast ? Med Lebesgue integralen kan man integrera diskontinuerliga funktioner.

Reserverar mig för en förklaring, då det var 8-9 år sedan jag läste integrationsteorin.

Ja, Riemann-integrabel

Ok !

Checkade lite med Google och snubbla på följande länk http://www.mathlinks.ro/Forum/viewto...=622650#622650


På rak arm så ser jag inte alls hur man utför en Riemannintegral på denna. Stämmer det ens att f(x) är kontinuerlig vid varje irrationellt tal ?

Om vi jämför med den typiska funktionen

g(x)=0 om x är rationell
g(x)=1 om x är irrationell

Vad jag minns så krävs det att man nyttjar Lebesgue-integral för att integrera g(x), och g(x) är ju "i princip" samma som f(x) ovan i quotet.. Hmmr ?

Jo, det stämmer. Ju närmare ett irrationellt tal man kommer, desto större nämnare måste de rationella talen ha, och desto närmare 0 hamnar 1/q.


De liknar visserligen varandra, men f är kontinuerlig nästan överallt, vilket inte gäller för g. Därför är f Riemannintegrerbar, och denna integral har samma värde som Lebesgueintegralen, nämligen värdet 0.

Ok ! Vill minnas något snarlikt "klassiskt" problem som togs upp då man läste analysens grunder.



Hmm, hur kan f vara "mer" kontinuerlig än g ? Det kandlar ju bara om en skillnad i funktionsvärde. För ett irrationellt x så är f(x)=0 och g(x)=1, domänen är ju densamma för funktionsvärdena f(x)=0 och g(x)=1. Kanske klarnar om man får se en bild på f(x). Har den någon namn ?

g antar bara två olika värden, 0 och 1. f antar även värden godtyckligt nära 0.

Japp, men ursprungspostaren, där jag plockade quotet från, säger att f är Riemannintegrerbar på alla intervall (godtyckliga som jag förstår).

Och det stämmer att f är Riemannintegrerbar. Skillnaden består i att för g kommer över- och underrektanglarna alltid ha höjden 1 resp 0, vilket gör att något gränsvärde inte existerar. Men för f kommer överrektanglarnas höjd att variera och bli mindre vid finare indelning.

Hur visar man att f är kontinuerlig nästan överallt? Jag förutsätter här att "nästan överallt" betyder "överallt förutom på en nollmängd".

Problemet som jag ser det är att det inte existerar något intervall på vilket det enbart finns irrationella punkter men inga rationella.

Så, hur litet vi än väljer intervallet, med |x-x0|<δ uppfyllt, så följer ändå inte därav |f(x)-f(x0)|< ε för varje ε>0.

Vad är det jag missat?

Å andra sidan, de rationella talen på ett intervall är ju förvisso en nollmängd, så beaktar vi enbart de irrationella talen plockar blir det väl närmast självklart.