Relativt enkelt matteproblem!?

19 februari 1997 18.12.48
En jeep kan sammanlagt ta 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin. Antag att du ska färdas 1000 km in i öknen och att bränsle bara finns vid startpunkten och vid målet. Vill du klara färden måste du först placera ut bensin i depåer längs färdvägen. Hur mycket bränsle går det åt och var ska dunkarna placeras ut?
Tack på förhand.
Anna Högberg

Svar:
Antag för enkelhets skull att jeepen rymmer 1 volymsenhet bensin och att jeepen kan köra 1 längdenhet på 1 volymsenhet bensin. I detta fall är alltså en volymsenhet 200 liter och en längdenhet 500 km. Vi börjar med att ställa frågan: Hur långt kommer jeepen om det finns F volymsenheter i lager vid utgångspunkten för resan. Om F är ett heltal f är svaret
1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2f - 1)
längdenheter. Om F inte är ett heltal kan vi skriva F = f + d där f är ett heltal och 0 < d < 1 och i så fall blir sträckan
1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2f - 1) + d/(2f + 1).
Vi visar att jeepen verkligen kan komma så långt då F = f är ett heltal med induktion över f. Då f = 1 är det självklart. Antag nu att påståendet är visat för f och att det finns f + 1 v.e. i lager. Välj ut en punkt P 1/(2f + 1) l.e. från start S. Jeepen tankar fullt och kör sträckan från S till P och tillbaka till S. Detta görs f gånger. Varje gång deponeras 1 - 2/(2f + 1) v.e. vid P (resten går åt för resan). Totalt deponeras f(1 - 2/(2f + 1)) v.e. Sista resan från S till P är enkel och när jeepen är framme vid P har den 1 - 1/(2f + 1) v.e. i tanken. Totalt i depån och tanken finns alltså f(1 - 2/(2f + 1)) + 1 - 1/(2f + 1) = f v.e. Enligt induktionsantagandet kommer jeepen 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2f - 1) l.e. på dessa f v.e. och har alltså redan tillryggalagt 1/(2f + 1) l.e. Den totala sträckan på f + 1 v.e. bensin blir alltså
1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2f - 1) + 1/(2(f + 1) - 1).
Jag avstår från att visa att detta är den optimala lösningen. För ett bevis, se t ex Niven: Maxima and Minima Without Calculus.
I fallet att F inte är ett heltal skall den första depån placeras d/(2f + 1) l.e. från S.
Vi antar nu för enkelhets skull att F = f är ett heltal. Genom att räkna litet ser vi att
1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/13 < 2 < 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/13 + 1/15.
Det måste alltså finnas f = 8 v.e. = 1600 l vid start. Den första depån skall placeras 500/15 km från start, den andra efter ytterligare 500/13 km, den tredje efter ytterligare 500/11 km osv.
Kjell Elfström