Mekanikproblem; pendel+fjäder=problem!

Jag är helt värdelös på mekanik, men har börjat räkna lite på egen hand i förebyggande syfte.
Har nu stött på en enligt mig jobbig uppgift som jag skulle vilja ha en del hjälp med.

http://img291.imageshack.us/my.php?image=namnlslr6.jpg

Problemet
Partikeln med massan m är fäst i en masslöss stången som är L lång.
Sedan är en fjäder med styvheten k fäst i partikeln. Fjäderns icke spända längd är L0. Den andra delen av fjädern är fastsatt vertikalt under stångens infästningspunkt. Systemet antas vara utan friktion och gravitationen är g.

Hur härleder man den "styrande differentialekvationen" ur rörelseekvationerna? [Uttryckt i vinkeln (fi) och tidsderivator]


Tack på förhand.

Jag är inte helt säker på vad som menas med ex och ey i figuren, men antar att de definierar koordinatsystemet (som inte behövs).
Vi inför Lf = fjädern nuvarande längd.

Du kan göra en kraftanalys:
Massan utsätts för tre krafter, gravitationen, en från stången och en från fjädern.
Gravitationen är riktad rakt nedåt och är g*m N.
Fjäderns kraft är riktad mot fjädern fästpunkt och är (Lf - L0)*k N.
Stångens kraft är riktad mot dess fästpunkt och lika stor som den komponen av de två andra krafternas summa som är riktad åt rakt motsatt håll.

Vi delar upp summan i två komponenter, F1 & F2, F1 parallellt med pendeln och F2 90 grader mot F1.
F1 blir alltid noll.
Vi definerar positiv riktning för F2 till moturs kring stångens fästpunkt.

Detta ger
F2 = - g*m*sin(fi) - (Lf - L0)*k*sin(2*fi)
(Kan härledas med enkel geometri men svårt att förklara i text.)

Sedan blir (om fi är i radianer)
d/dt(fi*L) = F2
dfi/dt = F2/L
dfi/dt = L*(- g*m*sin(fi) - (Lf - L0)*k*sin(2*fi))
(Eftersom L är en konstant kan man fritt flytta ut den ur derivatan.)

Du behöver nog prata lite mer för att bevisa resonemanget, men man kan räkna ut det så.

Jag har inte tittat igenom din lösning i detalj Cower men det ser ut som din diffekvation är av första ordningen. Det måste bli en andra ordningens.

d(fi*L)/dt = F2 ?

Vänsterledet är en hastighet och högerledet en kraft. Har jag missförstått dig?

Tack så mycket för att någon orkat titta på det.

Ni känner möjligtvis inte till någon bra grundläggande mekaniklitteratur gärna skriven på engelska. För Mekanik - Statik och Dynamik av Ragnar Grahn och Per-Åke Jansson är inte en bok i min smak.

Jag vill nog ha fler lösta exempel än vad ovanstående bok erbjuder.

Även jag tycker att det borde "bli" en andra ordningens ode.

Använd Lagrangiansk mekanik

Gravitationella energin kan skrivas (övre fästet som nollpunkt)

Vg = -mgLcos θ

och fjäderenergin är

Vf = ½k(s-L0)²

där s är fjäderns längd. Kinetiska energin är

T = ½mv² = ½m(L(dθ/dt))² = ½mL²ω².

Lagrangianen är således

L = T - V = ½mL²ω² + mgLcos θ - ½k(s-L0)².

Partialderivata m.a.p. θ är

∂L/∂θ = -mgLsin θ - k(s-Lo)∂s/∂θ

och partialderivatan m.a.p. ω är

∂L/∂ω = mL²ω

och tidsderivatan av detta

d/dt(∂L/∂ω) = mL²(dω/dt) = mL²(d²θ/dt²).

Lagranges ekvation (rörelseekvationen) blir

d/dt(∂L/∂ω) - ∂L/∂θ = 0, eller

mL²(d²θ/dt²) + mgLsin θ + k(s-Lo)∂s/∂θ = 0.

Vi behöver s(θ)! Cosinussatsen ger

s² = L² + (L+L0)² - 2LL0cos θ

så

s = √(L² + (L+L0)² - 2LL0cos θ)

och

∂s/∂θ = LL0sin θ/√(L² + (L+L0)² - 2LL0cos θ).

Jag är inte säker på att det blev rätt, det ser onkeligen lite krångligt ut. Men vi har i alla fall en andra ordningens D.E. som förväntat.

Helt rätt, det ska vara:
d^2(fi*L)/dt^2 = F2

Och det sista uttrycket blir då:
d^2fi/dt^2 = L*(- g*m*sin(fi) - (Lf - L0)*k*sin(2*fi))

Jag skyller på att jag skrev det mitt i natten.

Du har glömt ett m. Men jag förstår inte heller hur du kommer fram till ditt uttryck för fjäderkraften. Hur kom du fram till sin(2*fi)? Det är uppenbart att det även måste bero på L.

Doh, jag måste ju såklart dela F2 med massan för att få en acceleration...
Och så glömmer jag att uttrycka Lf i kända storheter.
Och ett par andra fel. (2*fi är fel, ja.)

Nytt försök:

Vi inför Lf = fjäderns nuvarande längd.
Massan utsätts för tre krafter, gravitationen, en från stången och en från fjädern.
Gravitationen är riktad rakt nedåt och är Fg = g*m N.
Fjäderns kraft är riktad mot fjädern fästpunkt och är Ff = (Lf - L0)*k N.
Stångens kraft är riktad mot dess fästpunkt och lika stor som den komponent av de två andra krafternas summa som är riktad åt rakt motsatt håll.

Vi delar upp summan i två komponenter, F1 & F2, F1 parallellt med pendeln och F2 90 grader mot F1.
F1 blir alltid noll.
Vi definerar positiv riktning för F2 till moturs kring stångens fästpunkt.

Inför
Fg2 = den komponent av gravitationens inverkan som har samma riktning som F2
Ff2 = den komponent av fjäderns inverkan som har samma riktning som F2
L2 = avståndet i linje med F2 från massan till linjen mellan de två fästpunkterna

Detta ger
F2 = Fg2 + Ff2
Fg2 = - g*m*sin(fi)
Ff2 = Ff*L2/Lf
L2 = L*tan(fi)
Lf = (L+L0)^2 + L^2 - 2*(L+L0)*L*cos(fi)

Sedan blir (om fi är i radianer)
d^2(fi*L)/dt^2 = F2/m
d^2fi/dt^2 = F2/(L*m)
(Eftersom L är en konstant kan man fritt flytta ut den ur derivatan.)

Du behöver nog prata lite mer för att bevisa resonemanget.

Nu borde det inte vara några konstigheter kvar, och dessutom lite tydligare, även om man nog måste rita lite för att förstå resonemanget.
Istället har jag inte pusslat ihop och förenklat uttrycken.

Tack så mycket för att ni orkade hjälpa en för er totalt okänd person.

s = √(L² + (L+L0)² - 2LL0cos θ)

Borde det inte bli: s = √(L² + (L+L0)² - 2L(L0+L)cos θ)?

Jo, helt rätt.