Derivatans definition

Vad är Derivata? Varför använder man derivata?
Beskriv derivata och förklara, tolka.
Tacksam för svar

Här finns en ypperlig sida: http://www.theducation.se/kurser/umaprep/04_gymac/index.asp

Det står i din mattebok. Suck.

http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata

Vaknat på fel sida? Alla har inte matematikböcker, alla har inte gått Matematik C på gymnasiet.

Nu var det väldigt sen jag läste den kursen, men om jag minns rätt är derivata hur lutningen är på en kurva vid ett visst ställe. Tex om vi har en kurva som går upp och sen ner, så kan man med derivata kolla upp max och minvärdet för funktionen, alltså när den är som högst och lägst. För att där är derivatan noll, eftersom den inte lutar. Men jag kanske minns fel

Derivata anger en funktions förändringshastighet.

Du har säkert tidigare räknat med linjära ekvationer, dvs y = kx + m, och vet hur man räknar ut k-värdet (lutningen). Lutningen för en kurva som går igenom punkterna f(x1) och f(x1+h) kommer då att få lutningen k = (f(x1+h)-f(x1))/h. Se http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/derivs/mathgifs/deriv5_ss0.gif för geometrisk tolkning.

Om du nu tänker dig att h går emot 0 så får du derivatans definition (du kan tänka det som att sträckan h i bilden jag visade går emot 0)

f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h

(Om du inte tidigare arbetat med gränsvärden så kan du tänka dig lim(h->0) (...) som (...) när variabeln h går emot 0.)

Exempel på gränsvärde: lim(x->5) x^2 = 25

Det är derivatans definition som används för att räkna ut alla derivator. Om du går i gymnasiet så antar jag att du känner till några grundläggande derivator, till exempel att derivatan av f(x) = x^2 är f'(x) = 2x. Detta fås alltså av derivatans definition:

f'(x) = lim(h->0) ((x+h)^2 + (x)^2)/h = (kvadreringsregeln) = (x^2 + 2h(x+h) + h^2 - x^2)/h = (x^2 + 2xh + 2h^2 - x^2)/h

Om vi nu utför divisionen med h får vi:

f'(x) = lim(h->0) x^2/h + 2x + 2h - x^2/h

och x^2/h - x^2/h blir förstås 0, dvs

f'(x) = lim(h->0) 2x + 2h -- Men eftersom h går emot 0 så kommer alltså produkten av 2 * h att gå emot 0. Vi får att:

f'(x) = lim(h->0) 2x + 2h = 2x <-- Som är den derivata du söker efter!

"Aj som satan, glömde den inre derivatan".

Det citatet från den röda boken av Arne nånting är allt jag kommer ihåg från matten på LTH för lääänge sedan.

Sorry för OT, men jag fick en Flashback .

Svårt att svara utan att veta vad du har för förkunskaper. Ett förklarande exempel:

Om du ritar ett diagram med tid på x-axeln, och sedan sträcka på y-axeln, där säg y = 0 är hem, och y = 10 är stan. Om du sedan ritar en linje som börjar i origo och slutar i y = 10 så har du beskrivit hur du tar dig från hem till stan. Ta t ex en rät linje y = x. Rita!

Deriverar du den här linjen får du, magiskt? jag vet, hastigheten du färdades med (du kommer få att hastigheten var 1 km/h om du sätter y-skalan i km och x-skalan i timmar). Det vill säga: y' = 1 km/h. Deriverar du igen, förvånad? , så får du accelerationen. Den blev noll hela tiden då du färdades med konstant hastighet (bry dig inte om ändpunkterna).

Derivata har otroligt många användsområden (t ex max-/min-problem), men den ovan torde vara den lättaste att greppa.