Matematik fråga, divergens och gradient!

Hejhej, har lite probs med följande uppgift.

låt f(x) = sin abs(x) + 1/abs(x), x tillhör R, x=(x1,x2) skilda från noll.

a. beräkna gradientf(x).
b. beräkna divf(x).

Jag vet hur man beräknar grad och div, problemet är att jag inte vet hur jag skall göra när det det är abs, vilket betyder längden??

mkt tacksam för ett lösningsförslag

hjälper detta:

df(x)/dx = cos(x) * sgn(x) - sgn(x)/x^2

sgn är signumfunktion

när x->0 divergerar 1/x^2 medan cos(x) är begränsat så

så där blir df/dx gränsvärdet av -sgn(x)/x^2 när x->0.

För x=0 är df/dx odefinierat

hm tror inte man ska blanda in signumfunktionen.

vet inte om det står fel men visst ska det väl vara x tillhör R^2, och x = [x1,x2], x1,x2 tillhör R?

Att x skulle tillhöra R, men också vara en vektor är ju en motsägelse.

men abs(x) = abs([x1,x2]) = sqrt(x1^2+x2^2).

så f(x) = sin abs(x) + 1/abs(x) = f(x1,x2) = sin(sqrt(x1^2 + x2^2)) + 1/sqrt(x1^1+x2^2).

gradf = [df/dx1 , df/dx2] = [cos(sqrt(x1^2 + x2^2)) * x1*(x1^2+x2^2)^(-1) - x1/(x1^2+x2^2)^(-3/2), cos(sqrt(x1^2 + x2^2)) * x2*(x1^2+x2^2)^(-1) - x2/(x1^2+x2^2)^(-3/2)]
Hoppas det här blir rätt, pinsamt annars ju.
öh sen divergsen, antagligen har jag hjärnförstoppning nu men inte beräknar man väl divergensen av ett skalärfält? Då är väl den noll.

edit: många fel

Ersätt abs(x) med sqrt(x1^2 + X2^2).
Det bör väl vara samma sak, det vill säga avståndet från origo?

Eftersom f är symmetrisk med avseendet på avståndet från origo, kan man väl säga något om divergensen i det avseendet? f(R)=sin(R)+1/R, där R är större än eller lika med noll.

Edit: mrMunson har ju redan svarat, och räknat åt dig också!

har räknat lite..

jag kom fram till följande:

1a.

grad f(x)= (df/dx1, df/dx2) = cos[sqrt(x1^2+x2^2)]*x1/[sqrt(x1^2+x2^2)] -3/[(x1^2+x2^2)^(5/2)], cos[sqrt(x1^2+x2^2)]*x2/[sqrt(x1^2+x2^2)]-3[(x1^2+x2^2)^(5/2)]


1b.

div f(x)= (df/dx1 + df/dx2)= cos[sqrt(x1^2+x2^2)]*[1/sqrt(x1^2+x2^2)](x1+x2)-3/[(x1^2+x2^2)]^(5/2)-3/[(x1^2+x2^2)]^(5/2)



jag är jävligt trött i nu, men detta borde stämma va?

tack på förhand

Divergensen är endast definierad för vektorfält, vilket innebär att uttrycket "div f(x)" inte är definierat om f(x) är en skalär. Så med andra ord, begreppet "div f(x)" av en skalär funktion f(x) existerar inte.


Definiera ett vektorfält v(x) enligt v(x) = (v1(x),v2(x),v3(x)), då förstås med beteckningen x = (x1,x2,x3).

Då definieras divergensen av vektorfältet v enligt:


Som ses kan div v generaliseras till n dimensioner:


Man kan tänka sig att du i den här uppgiften ska bestämma div grad f(x). Och det existerar.
Med lite räknande kan visas att att div grad f(x) = ∆f(x), där ∆ är Laplaceoperatorn. Denna definieras enligt:


Denna formel visas genom att man i definitionen av div v(x) sätter in v(x) = grad f(x), och räknar en del.