Lite skoj Logik/Matematik klureri

1. Antalet möjliga kombinationer med två tärningar är exakt 36. Alltså är 1/36 chansen att få en av dessa kombinationer, ex 1-6, eller 5-3, eller 6-6. Om vi vet att en av tärningarna är en sexa så blir knappast sannolikheten 1/36.

2. Här förstår jag inte riktigt vad du menar. När magasinet är snurrat finns de tre dödliga positioner att välja, nämligen den positionen som kulan har, samt 2 och 4 från den positionen. Det är säkert att välja positionen 1, 3 och 5 från kulan.

3. Du har, om jag förstår dig korrekt, skrivit att A(n) = A(n^2) - 1. Stoppar vi in detta fås

A(n) - A(n-1) = A(n^2) -1 - (A((n-1)^2-1).

Jag vet inte vad man ska få ut av det.

Personen som startar dör: (1/6) + (5/6)(4/5)(1/4) + (5/6)(4/5)(3/4)(2/3)(1/2) = (1/2)
Personen som inte startar dör: (5/6)(1/5) + (5/6)(4/5)(3/4)(1/3) + (5/6)(4/5)(3/4)(2/3)(1/2) = (1/2)[/quote]

Japp denna lösning stämmer. Det spelar ingen roll vem som börjar

Iterativ metod
Givet:
A(1)=1
A(n) = A(n-1) + n² när n>1 n är ett positivt heltal.


Kan börja med att sätta några värden på n. För 1 är resultatet givet:
A(1)=1

För n>1, sätt in i A(n) = A(n-1) + n²:
A(2) = A(2-1) + 2²= A(1) + 2²= 1 + 2²
A(3)= A(2) + 3²= (1 + 2²)+ 3²
A(4)= A(3) + 4²= (1 + 2²+ 3²)+ 4²
A(5)= A(4) + 5²= (1 + 2²+ 3²+ 4²)+ 5²

Börjar fatta galoppen. Det ser ut som om allmänt gäller
Vilket återstår att bevisa!


För att visa detta allmänt tillämpas induktionsbevis.
Har givet i förutsättningarna A(n) = A(n-1) + n² , n>1,
vilket är analogt med A(n+1) = A(n) + (n+1)² (byt n mot n+1)

Ska visa att: om formeln A(n) = ∑k² vi gissat gäller för n, så gäller den även för n+1, dvs


Induktion:
Utgå från förutsättningen: A(n+1) = A(n) + (n+1)² samt


Då fås:

vilket skulle visas. Nu återstår det emellertid att explicit beräkna summan

vilket görs med ett knep i nästa inlägg.


Petig anmärkning.
Om man vill använda A(n) = A(n-1) + n² i oförändrad form (dvs inte byta n mot n+1) så kan man i induktionsbeviset utgå från den gissade formeln för n-1:
Man tillämpar sedan förutsättningen A(n) = A(n-1) + n² på den formeln för att visa att det därav följer:
Det är i princip samma sak, bara "ett snäpp neråt". Detaljerna överlåtes åt den hugade.

Beräkning av summor med knep

Börjar med formeln för aritmetisk summa:
n
∑k = n(n+1)/2
k=1

Beteckna denna med s1(n). Formeln visas så som Gauss påstås ha gjort i småskolan: skriv ut summan termvis 2 ggr i motsatta riktningar
s1(n) = 1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n samt
s1(n) = n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1

Addera:
2*s1(n) = (n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1), n st termer.

Alltså: 2*s1(n) = n(n+1) => s1(n) = n(n+1)/2


Nästa steg är att beräkna

Denna är lite knepigare. Först utnyttjas egenskaper hos teleskopsummor.
Inför T enligt:

Skriv ut termerna:

Termerna tar ut varandra parvis. Kvar efter det totala förintandet blir:


Sätt i detta fall f(k) = k³=>


Utveckla kuben: (k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1 =>

Sätt ihop resultaten:

T(n) = (n+1)³-1 = 3s2(n) + 3s1(n) + n =>
=> s2(n) = (1/3)[(n+1)³-1-(3s1(n) + n)] = (1/3)[(n+1)³-1-(3/2)n(n+1) - n]

Stuva om:
s2(n) =
= (1/3)[(n+1)³-1-(3/2)n(n+1) - n] =
= (1/3)(n+1)[(n+1)²-1-(3/2)n] =
= (1/3)(n+1)[(n+1)²-1-n-n/2] =
= (1/3)(n+1)[n(n+1) -n/2] =
= (1/3)n(n+1)[n+1 -1/2] =
= (1/6)n(n+1)(2n+1)

Och då får man slutligen


Envisas man med formeln för n+1, så byt n mot n+1, vilket ger:

Sannolikheten att dö är lika stor vare sig man börjar eller inte, så det spelar ingen roll. Bättre kanske att agera tuff och gå först!

Sannolikheten för att det smäller n:te gången ökar ju för varje gång som den har klickat. Men sannolikheten att man kommer till n:te gången minskar ju också, och i exakt motsvarande takt. Sannolikheten är 1/6 för vardera 1:a, 3:e eller 5:e kulan att dödar den som börjar, och 1/6 för vardera 2:a, 4:e eller 6:e kulan dödar den andre. T.ex. är sannolikheten 100% att den 6:e kulan dödar, men sannolikheten är ju 5/6 att den har smällt innan, så från utgångspunkten betraktat är sannolikheten lika stor att den 1:a kulan dödar, som att den sista kulan dödar.

Vi har träffat en av de tre tomma kamrarna, och det är bara om vi träffat det "sista" tomma som vi dör. Dvs med 2/3-sannolikhet har vi INTE träffat det "sista", och därmed är det 1/3 risk att vi dör.
Snurrar vi däremot har vi 1/2 risk att dö.