Chansen att triangeln omsluter cirkelns centrum?

Om tre punkter, A, B och C väljs slumpvis på cirkelns omkrets. Vad är sannolikheten att den bildade triangeln ABC, omsluter cirkelns centrum?

Känns spontant och intuitivt som att det är typ 10-15% chans att triangeln omsluter cirkelns centrum, men hur räknar man ut det exakt?

Inte tillräckligt med information.

Vad saknas menar du?

Jag menar att det är inte tillräckligt med information för att avgöra sannolikheten.

Du kan sätta punkterna väldigt nära och då kommer triangels area ej dela mittpunkten på cirkeln och du kan sätta de långt ifrån varranda och då dela mittpunkten men det kan du ju inte i förväg veta då det slumpmässigt.

Det blir (kanske) lösbart om du gör om processen oändligt många gånger men på bara ett försök så omöjligt att avgöra någon procentsats på utfallet.

Jo, det är tillräckligt med information, åtminstone om vi betraktar en cirkel i planet(2D), samt att punkterna inte får sammanfalla, vilket ju är självklara antaganden.

Men visst, jag kan göra en "autist-säkrad" problemformulering för dig och ev. andra som känner sig i behov av en sådan:

Tre punkter ( A ), ( B ) och ( C ) väljs likformigt slumpvis på omkretsen av en cirkel i planet. Vad är sannolikheten att triangeln ( ABC ), bildad av ackorden mellan punkterna, innesluter cirkelns centrum?

Nja, det är ingen självklart alls om det inte nämns. Då får man skriva tre unika punkter A,B och C istället. I matematik kan man inte göra antaganden som inte explicit framgår. Triangeln kan även tangera cirkelns mittpunkt, det framgår inte heller det är ett utfall som räknas.

Ok då, jag var lite slarvig! Men nu har du förstått dilemmat, har du något förslag på lösning?

Vad gäller specialfallen då triangeln tangerar mittpunkten kan vi asymptotiskt bortse ifrån då mängden möjliga trianglar går mot oändligheten(Vi söker en exakt lösning, dvs ingen diskretisering)

Jag förstår frågan , jag satt och kladdade lite, delade upp tringeln i två bitar, sen fyra bitar osv men insåg att jag tror fortfarande inte att det är tillräckligt med information.

Hur resonerade när du intiutivt kom fram till vad du tycker det "borde" vara?

Nä, ok, möjligt att du har rätt. Såg du mitt tillägg i förra inlägget förresten, det rörande specialfallen?

"Vad gäller specialfallen då triangeln tangerar mittpunkten kan vi asymptotiskt bortse ifrån då mängden möjliga trianglar går mot oändligheten(Vi söker en exakt lösning, dvs ingen diskretisering)"

Vad mer kan tänkas saknas i problemformuleringen?

Skjuter från höften och gissar på en fjärdedel.

Kanske är lite på väg om du dela upp i fyra kvadranter och ritar markerar två punkter A,B i första och tredje kvadraten. Rita linjen AB och sen försök komma fram till hur många punkter C du kan välja så att triangel ABC innesluter cirkelns centrum eller tangerar.

Att punkterna A och B uppfyller första kravet är ju lätt räkna ut, det är 1/3 sannolikhet eller 33.333333.... %.

Alltså är sannolikheten om man kan räkna ut alltid mindre än eller lika med 1/3 om det är ok att triangeln tangerar mittpunkten.

Att den tredje punkten placeras i fjärde kvadranten är 1/4.

Så kanske kan svaret vara 1/3*1/4=1/12 ? (8.33333 %)

Just det. jag är med dig. Analogt om vi väljer A,B i andra resp. fjärde kvadranten. Hmm, hur nystar man vidare utifrån detta. Känns mer komplext än vad jag först trodde..