Mattekluring

Tre bröder gjorde en resa tillsammans. De hade en resväska som innehöll 100-kronorssedlar med sig.

En natt bodde de över hos en kusin. På kvällen tog den yngste brodern en 100Kr-sedel och gav till kusinen. Därefter tog han själv en tredjedel av de återstående sedlarna.

Lite senare på kvällen tog den äldste brodern en sedel, och gav till kusinen, därefter tog han själv en tredjedel av sedlarna som återstod. ¨

Ännu lite senare på kvällen gjorde mellanbrodern samma sak, gav en sedel till kusinen och tog sedan själv en tredjedel av återstående sedlarna.

Vilket är det minsta antal 100-kronorssedlar som kan ha funnits i resväskan från början?


Det går att lösa genom att räkna baklänges, men jag lyckas inte lösa det andra vägen.

Hur ser ekvationen ut?

((2/3(2/3(2/3(x-1) -1) -1) -1))=0

x=7

Fick det till 25. Stämmer det?

Fick ut ett utryck för varje gång en tredjedel togs av pengarna.

Vid punkten då en tredjedel tas från pengarna så måste mängden vara delbart med tre.

T.ex vid första gången så börjar vi med startsumman x

Yngsta brodern tar en sedel (x-1) och tar sedan en tredjedel

Vilket betyder att x-1=3n (där n är ett positivt heltal)

Sedan fortsatte jag genom hela berättelsen tills jag fick ut tre stycken uttryck (detta är för komplicerat för mig att skriva på flashback), ett för varje gång en tredjedel togs.

Sedan bröt jag ut x från alla tre uttryck och satte dem i GeoGebra för att hitta lägsta punkt på y axeln där alla tre linjer korsar ett heltal på x axeln

Och så fick jag svaret 25

(Förlåt om de blev otydligt)

Jag får det också till 25.

Inga lägre antal än 6st efter att den trejde brodern länsat väskan ger heltal i alla föregående steg.


Svaret x=7 kräver att man accepterar att den sista brodern snor 1/3 av ingenting. Men det känns väl sådär. Väskan är tom när den tredje brodern snott sin hundring och han snor sedan en tredjedel av inget alls.

Om vi utgår från att man inte kan ta något av 0 har vi ekvationen

1/3 (2/3 (2/3 (x - 1) - 1) - 1) = p

där p är ett positivt heltal.

Ekvationen har lösningen

x
=1/4(19+27p)
=1/4(16+24p+3+3p)
=4+6p+1/4(3+3p)

Vi söker det minsta heltalet x.

3+3*3=12 är det minsta talet som är delbart med 4 varför p=3 vilket ger

x=4+6*3+3=25.