Korpparadoxen

Tänkte att något skulle kunna skrivas om vad som kallas korpparadoxen eller Hempels paradox, så att vi kan uttrycka våra tankar därom.

Antag att vi har en vetenskaplig hypotes i form av den allkvantifierade villkorssatsen: ”Ifall något är en korp, så är det svart.”

Många tänker sig att en observation av en enda icke-svart korp är tillräckligt för att falsifiera hypotesen. Varje gång man observerar en korp som är svart, kan man uppfatta det som ett misslyckat falsifieringsförsök, och också som något som stärker hypotesen. Ofta påstår man att varje observation av en svart korp utgör viss bekräftelse för hypotesen.

Många verkar tänka sig att det enda sättet att bekräfta hypotesen är genom att observera svarta korpar. Tanken är den att det inte går att bekräfta ifrågavarande hypotes genom att t.ex. gå runt och observera vilka egenskaper snö har, grässtrån har, vatten har, delfiner har o.s.v.. Endast observationer av korpar tros av dem vara av relevans.

Fast vad flera har uppmärksammat är att man enligt logikens ersättningsregel kontraposition kan ersätta hypotesen ”Ifall något är en korp, så är det svart.” med ”Ifall något är icke-svart, så är det icke-korp.” (Ifall man byter plats på det första påståendets antecedent och konsekvent och negerar båda, får man det andra påståendet.) Dessa påståenden är logiskt ekvivalenta, vilket innebär att de med necessitet har samma sanningsvärde. Med hänsyn till det borde det som utgör viss bekräftelse för det ena också utgöra viss bekräftelse för det andra. Ifall jag t.ex. observerar ett visst icke-svart ting, t.ex. en viss stol, och noterar att den ej är en korp, har jag fått bekräftelse för såväl ”Ifall något är icke-svart, så är det icke-korp.” som ”Ifall något är en korp, så är det svart.”

Somliga anser det vara besynnerligt att man kan få bekräftelse för hypotesen att alla korpar är svarta genom olika observationer av att vissa icke-svarta ting ej är korpar. Vad tänker ni om det? Måste man inte acceptera att bekräftelse för ett påstående också är viss bekräftelse för det logiskt ekvivalenta? Självfallet gäller problemet inte heller blott den specifika hypotesen, utan också mängdvis av andra vetenskapliga hypoteser med samma form.

Personligen tycker jag i nuläget att det verkar stämma att man kan bekräfta hypotesen att alla korpar är svarta genom att observera icke-svarta ting, fastän det vid första anblick var något kontraintuitivt. Oavsett vilket tror jag ett värre problem uppstår om man tänker sig att en materiell implikation ingår i hypotesen. Per definition är den materiella implikationen bara falsk om följande gäller: dess antecedent är sann, och dess konsekvent är falsk. Med något av de andra tre möjliga sanningsvärdespermutationerna som invärde, ger den materiella implikationen, uppfattad som en sanningsfunktion, sanning som utvärde.

Betrakta nu följande sats: ”Om August är en korp, så är August svart.”

Observerar vi att August är en korp och att han är svart görs satsens uttryckta proposition sann. Man kan säga att vi då gjorde en sann-sann-verifiering därav. Om vi i stället observerar att August ej är en korp och ej är svart genomförs en falsk-falsk-verifiering. (Det är falsk-falsk-bekräftelse som tidigare verkade paradoxalt.) Ett tredje alternativ är falsk-sann-verifiering, vilket görs om man observerar att August ej är en korp och att han är svart. Det verkar då som att man skulle kunna ha falsk-sann-bekräftelse för hypotesen.

Problemet är alltså att man t.o.m. genom observationer av svarta ting, och genom att konstatera att de ej är korpar, synes få bekräftelse för hypotesen. För mig verkar det som att man tvingas förneka att det är fråga om en materiell implikation som används i hypotesen, om man vill undvika detta problem som verkar ännu värre än det man typiskt tänker sig korpparadoxen innebär.

(Inom logikfilosofin har filosofer uttryckt många tankar om materiella implikationer. [T.ex. funderar man på hur passande det är att uppfatta kontrafaktiska villkorssatser som materiella implikationer med falska antecedenter. Även s.k. strikta implikationer är materiella med en extra aletisk komponent.]
Faktiskt är det sant att en godtycklig falsk sats materiellt implicerar vilken annan sats som helst.
Förnekar man att villkorssatsen i hypotesen är en sanningsfunktion borde man vara tydlig med vad ens alternativ är.)

Oberoende av om vi, utöver sann-sann- och falsk-falsk-bekräftelse, accepterar falsk-sann bekräftelse, kan det vara värt att fundera på om någon av dessa sorters bekräftelse är starkare än någon annan. Är t.ex. en observation av en svart korp mer bekräftelse än en observation av en icke-svart icke-korp? Vissa tänker sig att det beror bl.a. på det totala antalet korpar och det totala antalet icke-svarta ting. Emellertid finns det skäl till att tro att bekräftelsen är lika stor oberoende av hur det förhåller sig med dylikt.

Betrakta hypotesen predikatlogiskt formaliserad, vilket ger en följande allkvantifierade implikation:

”∀x(K(x) → S(x))”

Genom att upprepade gånger ersätta individvariabeln med relevanta individkonstanter (och göra sig av med allkvantifieringen) får man mängdvis av implikationer som är konjunktivt sammanfogade sålunda: (K(a1) → S(a1)) ∧ (K(a2) → S(a2)) ∧ (K(a3) → S(a3)) ∧ ..., o.s.v. o.s.v. (ad infinitum eller ej). (Dessa hade man lika gärna kunnat formalisera satslogiskt.) Varje gång en sådan icke-allkvantifierad implikation verifieras, tänker man sig nog att hypotesen får viss bekräftelse.
Fast det är väl sak samma huruvida man genomför en sann-sann-, falsk-falsk, eller falsk-sann-verifiering? Det är väl alltid fråga om verifiering? Motsvarande tycker jag borde gälla bekräftelse. Jag tänker mig att verifiering av en implikation ger precis lika mycket bekräftelse för den allkvantifierade satsen som vilken annan som helst. Om en enda falsifieras, så falsifieras därmed också den allkvantifierade implikationen. Om en enda verifieras, innebär det att den allkvantifierade motstod falsifiering. För att den allkvantifierade satsen skall vara verifierad krävs att alla dessa satser verifieras. (Dock finns skäl till att tro att den inte kan verifieras, bl.a. p.g.a. att den inte har temporala restriktioner.) Varje enskild sats bidrar lika mycket till att hypotesen närmar sig verifiering. Med hänsyn till det nämnda känns det högst intuitivt att varje implikation ger lika mycket bekräftelse. Måhända att även det är något paradoxalt.

(Jag kan kortfattat försöka beskriva det predikatlogiskt formaliserade lite mer vardagsspråkligt. Hypotesen ”Alla korpar är svarta”. kan tänkas utsäga någonting om var och en av existerande entiteter; nämligen att om den är en korp så är den svart. Man kan då få oändligt många villkorssatser vilka handlar om partikulärer, t.ex. ”Om August är en korp, så är August svart.” och ”Om Bertil är en korp, så är Bertil svart.” och ”Om mitt hus är en korp, så är mitt hus svart.” o.s.v. o.s.v. tills man har sådana satser vilka predicerar de relevanta egenskaperna om varje existerande ting.)

Så vad tänker ni om paradoxen? Kan man bekräfta/stärka (inte verifiera) hypotesen genom att observera att vissa icke-svarta ting ej är korpar? Förekommer det t.o.m. falsk-sann-bekräftelse, utöver falsk-falsk bekräftelse? Vad avgör styrkan hos en bekräftelse (relativt andra bekräftelser)? Är det ens rimligen fråga om en materiell implikation i hypotesen? Om inte en materiell implikation, vad har man för rimliga alternativ? Några andra tankar om paradoxen?

Mm det är kontraintuitivt. Om man inte "hjärntvättats" av logiska studier är eller-introducering också något som känns fel. Kanske borde man tillåta mer flum om man ska närma sig vad som känns intuitivt. Vår vardagsförståelse om det mesta är helt enkelt inte särskilt tydlig eller klar. Säkert finns det fördelar i det.

Men om man aldrig observerat svarta korpar men istället (nästan) allting annat så börjar man närma sig intuitionen. Lite grand som att förstå gudar med hjälp av långa räckor negationer som inom mystiken.

Ja läste detta som koppar. Denna ädla råvara kommer när som bli hårdvaluta. Köp företag som sysslar med detta så slipper ni bry er om pensionssparande m.m detta är bara ett tips. Kolla om max 3år så ser ni hur rätt ja hade.

Jag har förut i varje fall misstänkt att regeln t.o.m. är inkorrekt, men tror att jag främst uppfattat den som konstig p.g.a. att regeln sällan synes vara användbar. Varför t.ex. med premissen "Människor finns." dra slutsatsen: "Människor finns eller en gris flyger."? Det känns milt talat underligt.

Jag vet att det också är något kontroversiellt huruvida eller-konstruktioner i vardagsspråket är mångtydiga eller inte. Somliga påstår t.ex. att vissa enkla eller-konstruktioner inte skall uppfattas som inklusiva disjunktioner, utan snarare som exklusiva (i likhet med antingen-eller-konstruktioner).
Om disjunktionen man fokuserar på när man gör en disjunktions-introducering är inklusiv, uppfattar jag inget problem med regeln. Den inklusiva disjunktionen görs per definition sann om dess ena disjunkt är sann. Frågan är dock hur ofta det är rimligt att uppfatta disjunktioner som inklusiva, om inte annat görs explicit.

Tror det är någorlunda vanligt att människor säger något i stil med följande: "Du är dum, elak eller både och." Det verkar kanske tala lite för att de inte uppfattar eller-satsen "Du är dum eller elak." på ett inklusivt vis, såvida de inte på ett överflödigt vis vill betona att både och är tillåtet. Men varför betona det om språkligt kompetenta redan vet det?

Oavsett vilket förekommer ofta att man använder eller-konstruktioner på inklusiva vis. När någon frågar: "Är din mor eller far hemma?" är det passande att svara jakande (t.ex. med: "Ja, min mor och far är hemma.") – även om båda är hemma.

Det kan vara av viss relevans att nämna ett skämt jag har hört:

"En logikers fru har precis fött ett barn. Barnmorskan ger det nyfödda barnet till fadern. Frun frågar fadern: ’Är det en pojke eller en flicka?’. Logikern svarar sin fru med blott ett ’ja’."

Problemet med logikerns svar är inte nödvändigen att det är falskt. Faktiskt är det sant om disjunktionen är inklusiv. Men hans svar är varken informativt eller i enlighet med förväntningar.

I fallet med somliga inklusiva disjunktioner är det också fråga om att disjunkterna inte kan vara sanna samtidigt av begreppsliga skäl. Men det innebär inte att själva disjunktionen är inklusiv.

F.ö. vet jag att vissa dialetister tycker att man inte borde acceptera disjunktions-introducering, och det för att slippa problemet med att en sann motsägelse implicerar att allt annat är sant (inklusive oändligt många andra motsägelser). Vanligen vill dialetisten bara acceptera några motsägelser, som antagligen gäller det abstrakta.

Den materiella implikationen har dock under lång tid besvärat mig. Om inte mitt minne sviker mig så har jag läst att det var Gottlob Frege som började använda den, Bertrand Russell som myntade termen, och Russell som började hantera vardagsspråkets villkorssatser som om att de vore materiella implikationer.

Ifall man vill ha ett icke-sanningsfunktionellt alternativ verkar det ändå som att det måste klara av att tillåta att man genomför kända inferensregler såsom modus ponens, modus tollens och hypotetisk syllogism. Villkorssatser som inte gör det verkar väldigt besynnerliga. Frågan är emellertid vad man skall tänka sig avgör sanningsvärdet hos implikationen, om inte i samtliga fall blott sanningsvärdena hos satserna däri.