Kluriga matematikproblem

Bestäm n så att följande gränsvärde blir ändligt och skilt från noll. Beräkna även gränsvärdet.
lim (x*ln(1+x) + 2cos(x) + 1/2*x^3 - 2)/((1+x^n)^(1/n)-1), x -> 0

Provat att Taylorutveckla?

Hopital?

Tack för återkopplingen! Detta är en s.k. "kluringtråd". Det betyder att jag vet svaret, men ställer lite kluriga frågor som förhoppningsvis är en viss utmaning att lösa.

Äntligen lite uppgifter efter julgröten!

http://mathb.in/69207

https://imgur.com/GFo9l0g

(Hoppas alla superscript m.m. kom på rätt plats…)

Mycket snygg lösning! Både metodiken och formatet!

Nästa kluring:
En triangel har hörnen A, B och C och vinklar med samma beteckningar.
Det gäller att A+C=2B
Vidare är triangelns area: 4*sqrt(3)*(2-sqrt(3)) a.e.
Dessutom gäller att sidan b = |AC| = 2*sqrt(6)*(sqrt(3)-1) l.e.
Bestäm alla trianglar som uppfyller ovanstående samband.

Jag får två möjliga trianglar;

Sidorna
a = 4 (2 - sqrt3)
b = 2 sqrt6 (sqrt3 - 1)
c = 4

och

a = 4
b = 2 sqrt6 (sqrt3 - 1)
c = 4 (2 - sqrt3)

Vinklarna i trianglarna blir 15°, 60° och 105°, med lämplig respektive placering.

Helt korrekt Matte-Nerd!

Vad blir följande oändliga produkter? Exakta svar efterfrågas, ej approximativa.

a) produkt (n^3-1)/(n^3+1), n=2..infty

b) produkt (n^2-1)/(n^2+1), n=2..infty

Kan bidra med 3 problem, där jag bara kan lösningen på 1) så jag vet inte hur lösbara dom andra är

1) Let n, k be 2 positive integers with n \geq 2k
Show that either \binom{n}{k} or \binom{n-k}{k} is divisble by 2

2) Is there a sequence of real numbers (x_1, x_2, ...) in the unit interval I, such that for any n, the n intervals { ((k-1)/n, k/n) : 1 <= k <= n } each contain exactly one of the values { x_k : 1 <= k <= n }?

(There are three conceivable answers: an infinite sequence exists; or there's no infinite sequence but there are arbitrarily long finite sequences; or there's a maximal-length finite sequence.)

3) What is the longest string of nonzero digits that can appear at the end of (a) a square, (b) a power of two?

a) är "enkel", men är b) lösbar på ett enkelt sätt? Jag körde den genom Mathematica och det gav det spännande svaret π csch(π) vilket verkar vara ett "intressant" svar... Är det några dolda Fourier-serier?