Finns det en fortsättning på detta mönster?

Om ett första exempel är hur en punkt växer till en linje genom en utökad punkt, därefter till en liksidig triangel genom ytterligare en punkt, därefter en liksidig tetraeder om ytterligare en punkt placeras med jämnt avstånd och detta fortsätter med alla n-simplex i ordning.

Ett andra exempel är att punkten växer till en linje genom dubbelt så många punkter som föregående exempel, så nästa tillväxt är till en kvadrat med fyra hörn, därefter en kub med åtta hörn och så vidare för hyperkuber.

Finns det ett tredje exempel (eller fler än så) och hur kommer den växa i så fall?

Ja: i familjen med linje, kvadrat, kub, tesserakt, har man två n-1 dimensionella sidor på varje koordinataxel. T ex en 1D linje begränsas av två punkter, en kvadrat begränsas av fyra linjer, en kub begränsas av 6 kvadrater, och en tesserakt begränsas av 8 kuber.

Men istället kan man sätta två hörn på varje koordinataxel, och får då linje, romb, oktaeder, etc, som är duala till den ovanstående familjen.

Trianglar, tetaedrar, 4-simplex, etc, är självduala, med t ex lika många hörn som n-1-dimensionella sidor.

Och dessa tre är alla som finns.

Vad är den fyrdimensionella motsvarigheten till en oktaeder?

En oktaeder med en klocka på.

16-cell.
Dvs den begränsas av 16 hyperytor som i detta fall är regelbundna tetraedrar.
"It is also called C16, hexadecachoron, or hexdecahedroid."
https://en.m.wikipedia.org/wiki/16-cell

I 3D har en oktaeder 4 regelbundna trianglar runt varje hörn.
I 4D har en 16-cell 4 regelbundna tetraedrar runt varje kant.

I 3D kan man istället ha 3 trianglar runt varje hörn, vilket ger en tetraeder, eller 5 trianglar runt varje hörn vilket ger en dodekaeder (20-siding). Dock kan man inte ha 6 trianglar runt varje hörn eftersom vinkeln i ett triangelhörn är 60°, dvs med 6 såna blir det 360° totalt, och därmed finns det ju ingen vinkel kvar för att vika ihop i 4D. Med 6 runt varje hörn kan man istället "kakla" en plan yta.
(Vad då "vinkel kvar"? Tänk t ex på hur det ser ut runt varje hörn på en kub: 3 kvadrater med 90° runt varje hörn. 3×90°=270°<360°, och därför kan 3 kvadrater vikas ihop till ett kubhörn.)

I 4D kan man p.s.s. ha 3 tetraedrar runt varje kant, vilket ger ett simplex. Och eftersom vinkeln mellan två tetraedersidor är mindre än 360°/5 kan man även ha 5 tetraedrar runt varje kant, vilket ger en 600-cell.

Mer om de 5 regelbundna konvexa polyedrarna i 3D:
https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Platonska_kroppar

Mer om de 6 regelbundna konvexa polytoperna i 4D:
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_4-polytope#Regular_convex_4-polytopes

I alla dimensioner har ett n-simplex en vinkel mellan 2 st n-1-sidor som är mindre än 360°/4. Så när man ska sätta ihop n-simplex som hypersidor i n+1 dimensioner, kan man antingen göra det med 3 st n-simplex runt varje "hyperkant" (n-2-simplex), vilket ger ett n+1-simplex, eller med 4 st runt varje hyperkant vilket ger en regelbunden n+1 dimensionell polytop i oktaederfamiljen.

Men det är bara i 2D och 3D som vinkeln mellan hypersidorna (dvs kanter resp sidor i 2D resp 3D) är mindre än 360°/5, och där man alltså kan klämma in 5 st runt varje hyperkant när man ska vika ihop till nästa högre dimension. Därför finns det bara 3 st regelbundna polytoper i 5 eller fler dimensioner: simplex, kub, och oktaeder (vad de nu heter i n D).

---
(Just sånt här snöade jag in på som ett privat projekt när jag började på universitetet för hundra år sen. Upptäckte iofs mycket på egen hand, men jag var ju långt ifrån först.)