Varför vet vi inte hur man löser alla problem?

Inom matematiken vet vi tex hur man avgör problemet ”Är naturliga talet x en perfekt kvadrat?” Då är det bara att kvadrera alla positiva heltal från 0 och uppåt tills man nåt en kvadrat större än eller lika med x. Är den lika med x är x en perfekt kvadrat, annars inte.

Men det finns många viktiga problem som vi ännu inte vet hur de ska lösas. Tex P vs NP. Varför vet vi inte hur vissa problem ska besvaras?

För att om vi vet hur ett problem ska lösas så är det inget problem.

Jag definierar ett problem som en fråga som ännu inte har ett känt svar, men ett definitivt svar.

Bra fråga! Jag skulle nog svara någonting i stil med detta, men jag har alltså ingen formell utbildning i vare sig filosofi eller matematik, så med stor sannolikhet är det rent svammel:

En matematisk sanning har ju varit sant för all tid när vi väl publicerat ett bevis. Problemen uppstår dock när vi undersöker matematikens grunder. Kurt Gödel visade som bekant att det finns matematiska sanningar som aldrig går att bevisa:
Källa

En del saker som är sanna kan vi kanske aldrig bevisa - P vs. NP kan kanske vara ett sådant problem? Ungefär som stopprolemet:
https://en.wikipedia.org/wiki/Halting_problem

Hur kommer det sig att vi alls kan någon som helst problemlösning?!

Börja där, innan du ställer den otroligt arroganta frågan du formulerat i rubriken/TS

Problem inom matematiken är universala och ser lika ut från alla vinklar. Samhällsproblem och livsåskådningar är subjektiva och dess problem vill alla lösa på sitt sätt, ifall man ens vill dessa sådana "problem".

Om något påstående följer från dina axiom måste det gå att bevisa.

Matematik kan inte bevisa sig själv från insidan. Det krävs ett steg ut ur matte till "meta-matematik" och så vidare i allt vidare cirklar av "meta".

Det betyder inte att det saknas lösningar till de flesta problem. Det duger gott för mig. Jag har givit upp tanken på en samling av "första principer" ur vilket annat kan härledas.